题目
27.设A,B和 A+B 都是n阶正交矩阵,证明 ((A+B))^-1=(A)^-1+(B)^-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：正交矩阵的性质
正交矩阵的定义是：如果一个矩阵A满足${A}^{T}A=AA^{T}=I$，其中${A}^{T}$是A的转置矩阵，I是单位矩阵，那么A是一个正交矩阵。正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即${A}^{-1}={A}^{T}$。
步骤 2：利用正交矩阵的性质
由于A和B都是n阶正交矩阵，所以${A}^{-1}={A}^{T}$，${B}^{-1}={B}^{T}$。同时，A+B也是n阶正交矩阵，所以${(A+B)}^{-1}={(A+B)}^{T}$。
步骤 3：证明${(A+B)}^{-1}={A}^{-1}+{B}^{-1}$
根据步骤2，我们有${(A+B)}^{-1}={(A+B)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}={A}^{-1}+{B}^{-1}$。因此，我们证明了${(A+B)}^{-1}={A}^{-1}+{B}^{-1}$。
正交矩阵的定义是：如果一个矩阵A满足${A}^{T}A=AA^{T}=I$，其中${A}^{T}$是A的转置矩阵，I是单位矩阵，那么A是一个正交矩阵。正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即${A}^{-1}={A}^{T}$。
步骤 2：利用正交矩阵的性质
由于A和B都是n阶正交矩阵，所以${A}^{-1}={A}^{T}$，${B}^{-1}={B}^{T}$。同时，A+B也是n阶正交矩阵，所以${(A+B)}^{-1}={(A+B)}^{T}$。
步骤 3：证明${(A+B)}^{-1}={A}^{-1}+{B}^{-1}$
根据步骤2，我们有${(A+B)}^{-1}={(A+B)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}={A}^{-1}+{B}^{-1}$。因此，我们证明了${(A+B)}^{-1}={A}^{-1}+{B}^{-1}$。