质点在xoy平面内的运动方程为x=3t，y=2t ^2+3。求： (1)t=2s时质点的位矢、速度和加速度； (2)从t=1s到t=2s这段时间内，质点位移的大小和方向； (3)0-1s和1-2s两时间段质点的平均速度； (4)写出轨迹方程。
质点在xoy平面内的运动方程为x=3t，y=2$$t ^2$$+3。求：
(1)t=2s时质点的位矢、速度和加速度；
(2)从t=1s到t=2s这段时间内，质点位移的大小和方向；
(3)0-1s和1-2s两时间段质点的平均速度；
(4)写出轨迹方程。
题目解答
答案
(1)有方程可知，x轴做匀速直线运动，速度$$v_x$$=3$$m/s$$,y轴做匀加速直线运动，初速度$$v_{y0}$$=0,加速度$$a$$=4$$m/s^2$$,
t=2s时x轴位移;3$$\times $$2=6m,y轴位移：2$$\times $$4+3=11m,合位移为：$$\root \of {6^2+11^2}$$=$$\root \of {157}$$m,合位移与x轴夹角：$$cos\theta $$=$$\frac{6}{\root \of {157} }$$,
x轴速度：3$$m/s$$,y轴速度：0+2$$\times $$4=8$$m/s$$,合速度为：$$\root \of {3^2+8^2}$$=$$\root \of {73}$$,
加速度为4$$m/s^2$$；
(2)
当t=1s时：
$$x=3t=3m$$
$$y=2t^2+3=5m$$
则t=1s内的位移为：$$s=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{34}m$$
位移与x轴的夹角为：$$\theta $$=$$arc tan{y\over x}=arc tan{5\over 3}$$
当t=2s时：
$$x=3t=6m$$
$$y=2t^2+3=11m$$
则t=2s内的位移为：$$s=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{157}m$$
位移与x轴的夹角为：$$arc tan{y\over x}=arc tan{11\over6}$$
从t=1s到t=2s这段时间内，质点位移的大小:$$\root \of {(11-5)^2+(6-3)^2}$$=$$3\root \of {5}$$m,
位移与x轴的夹角为:$$tan\alpha $$=$$\frac{11-6}{5-3}$$=2.5,故$$\alpha $$=arctan2.5。
(3)由(2)可知：0-1s时间质点的平均速度；$$\root \of {34} m/s$$,1-2s时间段质点的平均速度$$\root \of {157} m/s$$；
(4)消去时间t可得轨迹方程为：$$y=\frac{2x^2}{9} +3$$。
解析
根据质点在xoy平面内的运动方程x=3t，y=2$$t ^2$$+3，可以确定质点在x轴和y轴上的运动情况。x轴方向上，质点做匀速直线运动，速度$$v_x$$=3$$m/s$$；y轴方向上，质点做匀加速直线运动，初速度$$v_{y0}$$=0，加速度$$a$$=4$$m/s^2$$。当t=2s时，质点的位矢为x=3$$\times $$2=6m，y=2$$\times $$2$$^2$$+3=11m，合位矢为$$\root \of {6^2+11^2}$$=$$\root \of {157}$$m，合位矢与x轴夹角为$$cos\theta $$=$$\frac{6}{\root \of {157} }$$。x轴方向上的速度为3$$m/s$$，y轴方向上的速度为0+2$$\times $$4=8$$m/s$$，合速度为$$\root \of {3^2+8^2}$$=$$\root \of {73}$$m/s。加速度为4$$m/s^2$$。
步骤 2：确定从t=1s到t=2s这段时间内，质点位移的大小和方向
当t=1s时，质点的位矢为x=3$$\times $$1=3m，y=2$$\times $$1$$^2$$+3=5m，合位矢为$$\root \of {3^2+5^2}$$=$$\root \of {34}$$m，合位矢与x轴夹角为$$cos\theta $$=$$\frac{3}{\root \of {34} }$$。当t=2s时，质点的位矢为x=3$$\times $$2=6m，y=2$$\times $$2$$^2$$+3=11m，合位矢为$$\root \of {6^2+11^2}$$=$$\root \of {157}$$m，合位矢与x轴夹角为$$cos\theta $$=$$\frac{6}{\root \of {157} }$$。从t=1s到t=2s这段时间内，质点位移的大小为$$\root \of {(11-5)^2+(6-3)^2}$$=$$3\root \of {5}$$m，位移与x轴的夹角为$$tan\alpha $$=$$\frac{11-6}{5-3}$$=2.5，故$$\alpha $$=arctan2.5。
步骤 3：确定0-1s和1-2s两时间段质点的平均速度
由步骤2可知，0-1s时间质点的平均速度为$$\root \of {34} m/s$$，1-2s时间段质点的平均速度为$$\root \of {157} m/s$$。
步骤 4：确定轨迹方程
消去时间t可得轨迹方程为$$y=\frac{2x^2}{9} +3$$。