题目
8.求通过点 P(4,0,-1) 且与两直线-|||- ) x+y+z=1, 2x-y-z=2 .-|||-都相交的直线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定两直线的方向向量
首先，我们需要找到两直线的方向向量。对于第一组方程 $\left \{ \begin{matrix} x+y+z=1,\\ 2x-y-z=2\end{matrix} \right.$，我们可以通过解方程组得到直线的方向向量。同样地，对于第二组方程 $\left \{ \begin{matrix} x-y-z=3,\\ 2x+4y-z=4\end{matrix} \right.$，我们也可以找到直线的方向向量。
步骤 2：求解方向向量
对于第一组方程，我们可以通过消元法得到直线的方向向量。将两个方程相加，得到 $3x=3$，即 $x=1$。将 $x=1$ 代入第一个方程，得到 $y+z=0$。因此，直线的方向向量可以表示为 $(1, -1, 1)$。
对于第二组方程，我们同样可以通过消元法得到直线的方向向量。将两个方程相加，得到 $3x+3y=7$，即 $x+y=\frac{7}{3}$。将 $x+y=\frac{7}{3}$ 代入第一个方程，得到 $y-z=\frac{2}{3}$。因此，直线的方向向量可以表示为 $(1, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$。
步骤 3：求解通过点 P(4,0,-1) 且与两直线都相交的直线
为了找到通过点 P(4,0,-1) 且与两直线都相交的直线，我们需要找到一个方向向量，使得该直线与两直线都相交。我们可以通过求解两直线的方向向量的叉积来得到这个方向向量。设两直线的方向向量分别为 $\vec{a}=(1, -1, 1)$ 和 $\vec{b}=(1, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$，则它们的叉积为 $\vec{a} \times \vec{b} = (1, -1, 1) \times (1, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = (1 \cdot (-\frac{1}{3}) - (-1) \cdot \frac{2}{3}, 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-\frac{1}{3}), 1 \cdot \frac{2}{3} - (-1) \cdot 1) = (-\frac{1}{3} + \frac{2}{3}, 1 + \frac{1}{3}, \frac{2}{3} + 1) = (\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3})$。因此，通过点 P(4,0,-1) 且与两直线都相交的直线的方向向量为 $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3})$。
步骤 4：写出直线方程
根据点 P(4,0,-1) 和方向向量 $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3})$，我们可以写出直线的方程。设直线上的任意一点为 $(x, y, z)$，则有 $\frac{x-4}{\frac{1}{3}} = \frac{y-0}{\frac{4}{3}} = \frac{z+1}{\frac{5}{3}}$。化简得到 $\frac{x-4}{15} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{-8}$。
首先，我们需要找到两直线的方向向量。对于第一组方程 $\left \{ \begin{matrix} x+y+z=1,\\ 2x-y-z=2\end{matrix} \right.$，我们可以通过解方程组得到直线的方向向量。同样地，对于第二组方程 $\left \{ \begin{matrix} x-y-z=3,\\ 2x+4y-z=4\end{matrix} \right.$，我们也可以找到直线的方向向量。
步骤 2：求解方向向量
对于第一组方程，我们可以通过消元法得到直线的方向向量。将两个方程相加，得到 $3x=3$，即 $x=1$。将 $x=1$ 代入第一个方程，得到 $y+z=0$。因此，直线的方向向量可以表示为 $(1, -1, 1)$。
对于第二组方程，我们同样可以通过消元法得到直线的方向向量。将两个方程相加，得到 $3x+3y=7$，即 $x+y=\frac{7}{3}$。将 $x+y=\frac{7}{3}$ 代入第一个方程，得到 $y-z=\frac{2}{3}$。因此，直线的方向向量可以表示为 $(1, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$。
步骤 3：求解通过点 P(4,0,-1) 且与两直线都相交的直线
为了找到通过点 P(4,0,-1) 且与两直线都相交的直线，我们需要找到一个方向向量，使得该直线与两直线都相交。我们可以通过求解两直线的方向向量的叉积来得到这个方向向量。设两直线的方向向量分别为 $\vec{a}=(1, -1, 1)$ 和 $\vec{b}=(1, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$，则它们的叉积为 $\vec{a} \times \vec{b} = (1, -1, 1) \times (1, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = (1 \cdot (-\frac{1}{3}) - (-1) \cdot \frac{2}{3}, 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-\frac{1}{3}), 1 \cdot \frac{2}{3} - (-1) \cdot 1) = (-\frac{1}{3} + \frac{2}{3}, 1 + \frac{1}{3}, \frac{2}{3} + 1) = (\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3})$。因此，通过点 P(4,0,-1) 且与两直线都相交的直线的方向向量为 $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3})$。
步骤 4：写出直线方程
根据点 P(4,0,-1) 和方向向量 $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3})$，我们可以写出直线的方程。设直线上的任意一点为 $(x, y, z)$，则有 $\frac{x-4}{\frac{1}{3}} = \frac{y-0}{\frac{4}{3}} = \frac{z+1}{\frac{5}{3}}$。化简得到 $\frac{x-4}{15} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{-8}$。