[题目] int xcos dfrac (x)(2)dx

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对三角函数积分的基本掌握。
解题核心思路：通过合理选择分部积分中的$u$和$dv$，将原积分转化为更易计算的形式，再结合变量替换完成积分。
破题关键点：

1. 选择$u = x$，使导数后简化；
2. 选择$dv = \cos \frac{x}{2} dx$，通过变量替换快速求出$v$；
3. 处理剩余积分时，注意调整系数并正确应用三角函数积分公式。

分部积分法步骤：

1. 设$u = x$，则$du = dx$；
2. 设$dv = \cos \frac{x}{2} dx$，则$v = 2 \sin \frac{x}{2}$（通过变量替换$t = \frac{x}{2}$积分得）；
3. 应用分部积分公式：
   $\int x \cos \frac{x}{2} dx = uv - \int v du = 2x \sin \frac{x}{2} - \int 2 \sin \frac{x}{2} dx$
4. 处理剩余积分：
   $\int 2 \sin \frac{x}{2} dx = -4 \cos \frac{x}{2} + C$
5. 合并结果：
   $2x \sin \frac{x}{2} + 4 \cos \frac{x}{2} + C$