题目
11.设 y=x+x^2, 求dy.(10分) 请输入内容或上传图片…
11.设 y=x+x^{2}, 求dy.(10分) 请输入内容或上传图片…
题目解答
答案
设 $ y = x + x^2 $，求 $ dy $。
首先，对 $ y $ 关于 $ x $ 求导：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x + x^2) = 1 + 2x
\]
根据微分定义 $ dy = \frac{dy}{dx} \, dx $，可得：
\[
dy = (1 + 2x) \, dx
\]
因此，$ dy $ 的表达式为：
\[
\boxed{(1 + 2x) \, dx}
\]
解析
考查要点：本题主要考查函数的微分计算，需要掌握导数的基本求导法则以及微分的定义。
解题核心思路：
- 求导：对函数$y = x + x^2$分别对$x$求导，利用一次项和二次项的导数公式。
- 微分公式：根据微分定义$dy = \frac{dy}{dx} \, dx$，将导数结果与$dx$相乘即可。
破题关键点：
- 正确应用导数规则：一次项$x$的导数为$1$，二次项$x^2$的导数为$2x$。
- 微分形式：最终结果必须包含$dx$，否则仅写出导数而不完整。
-
求导过程
对函数$y = x + x^2$求导：- 第一项$x$的导数为$\frac{d}{dx}(x) = 1$。
- 第二项$x^2$的导数为$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
- 合并结果得：
$\frac{dy}{dx} = 1 + 2x.$
-
计算微分
根据微分定义$dy = \frac{dy}{dx} \, dx$，代入导数结果：
$dy = (1 + 2x) \, dx.$