题目
某专业有学生50人,现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程,36人选修乙课程,30人选修丙课程,兼选甲、乙两门课程的有28人,兼选甲、丙两门课程的有26人,兼选乙、丙两门课程的有24人,甲、乙、丙三门课程均选的有20人,问三门课程均未选的有多少人?A. 1人B. 2人C. 3人D. 4人
某专业有学生50人,现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程,36人选修乙课程,30人选修丙课程,兼选甲、乙两门课程的有28人,兼选甲、丙两门课程的有26人,兼选乙、丙两门课程的有24人,甲、乙、丙三门课程均选的有20人,问三门课程均未选的有多少人?
A. 1人
B. 2人
C. 3人
D. 4人
题目解答
答案
B. 2人
解析
本题考查集合的容斥原理,需要计算至少选修一门课程的人数,再用总人数减去这个数得到未选任何课程的人数。关键在于正确应用三集合的容斥公式,注意题目中给出的两两选课人数包含三门均选的情况,需直接代入公式计算。
根据三集合容斥原理公式:
$|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|$
代入题目数据:
- $|A|=40$(甲课程人数)
- $|B|=36$(乙课程人数)
- $|C|=30$(丙课程人数)
- $|A∩B|=28$(甲乙两门均选人数)
- $|A∩C|=26$(甲丙两门均选人数)
- $|B∩C|=24$(乙丙两门均选人数)
- $|A∩B∩C|=20$(三门均选人数)
计算过程:
$\begin{align*}|A∪B∪C| &= 40 + 36 + 30 - 28 - 26 - 24 + 20 \\&= 106 - 78 + 20 \\&= 48\end{align*}$
因此,至少选修一门课程的人数为$48$人,未选任何课程的人数为:
$50 - 48 = 2$