题目
有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任选出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.
有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任选出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，求：
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.
题目解答
答案
（1）从第一箱中第一次取到一等品的概率为
，
从第二箱中第一次取到一等品的概率为
，
则第一次取到一等品的全概率为
；
（2）从第一箱中两次取到一等品的概率为
，
从第二箱中两次取到一等品的概率为
，
在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的条件概率为
.
解析
步骤 1：计算从第一箱中第一次取到一等品的概率
从第一箱中取到一等品的概率为$\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}$，由于从两箱中任选一箱的概率为$\dfrac{1}{2}$，因此从第一箱中第一次取到一等品的概率为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}$。
步骤 2：计算从第二箱中第一次取到一等品的概率
从第二箱中取到一等品的概率为$\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$，由于从两箱中任选一箱的概率为$\dfrac{1}{2}$，因此从第二箱中第一次取到一等品的概率为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{10}$。
步骤 3：计算第一次取到一等品的全概率
第一次取到一等品的全概率为从第一箱中取到一等品的概率加上从第二箱中取到一等品的概率，即$\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{2}{5}$。
步骤 4：计算从第一箱中两次取到一等品的概率
从第一箱中第一次取到一等品后，箱中剩下49个零件，其中9个一等品，因此第二次取到一等品的概率为$\dfrac{9}{49}$。因此，从第一箱中两次取到一等品的概率为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{10}{50}\times\dfrac{9}{49}=\dfrac{9}{490}$。
步骤 5：计算从第二箱中两次取到一等品的概率
从第二箱中第一次取到一等品后，箱中剩下29个零件，其中17个一等品，因此第二次取到一等品的概率为$\dfrac{17}{29}$。因此，从第二箱中两次取到一等品的概率为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{18}{30}\times\dfrac{17}{29}=\dfrac{51}{290}$。
步骤 6：计算在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率
在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率为从第一箱中两次取到一等品的概率加上从第二箱中两次取到一等品的概率，除以第一次取到一等品的全概率，即$\dfrac{\dfrac{9}{490}+\dfrac{51}{290}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{9}{490}+\dfrac{51}{290}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{9}{490}+\dfrac{51}{290}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{9}{490}+\dfrac{51}{290}}{\dfrac{2}{5}}\approx 0.49$。
从第一箱中取到一等品的概率为$\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}$，由于从两箱中任选一箱的概率为$\dfrac{1}{2}$，因此从第一箱中第一次取到一等品的概率为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}$。
步骤 2：计算从第二箱中第一次取到一等品的概率
从第二箱中取到一等品的概率为$\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$，由于从两箱中任选一箱的概率为$\dfrac{1}{2}$，因此从第二箱中第一次取到一等品的概率为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{10}$。
步骤 3：计算第一次取到一等品的全概率
第一次取到一等品的全概率为从第一箱中取到一等品的概率加上从第二箱中取到一等品的概率，即$\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{2}{5}$。
步骤 4：计算从第一箱中两次取到一等品的概率
从第一箱中第一次取到一等品后，箱中剩下49个零件，其中9个一等品，因此第二次取到一等品的概率为$\dfrac{9}{49}$。因此，从第一箱中两次取到一等品的概率为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{10}{50}\times\dfrac{9}{49}=\dfrac{9}{490}$。
步骤 5：计算从第二箱中两次取到一等品的概率
从第二箱中第一次取到一等品后，箱中剩下29个零件，其中17个一等品，因此第二次取到一等品的概率为$\dfrac{17}{29}$。因此，从第二箱中两次取到一等品的概率为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{18}{30}\times\dfrac{17}{29}=\dfrac{51}{290}$。
步骤 6：计算在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率
在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率为从第一箱中两次取到一等品的概率加上从第二箱中两次取到一等品的概率，除以第一次取到一等品的全概率，即$\dfrac{\dfrac{9}{490}+\dfrac{51}{290}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{9}{490}+\dfrac{51}{290}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{9}{490}+\dfrac{51}{290}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{9}{490}+\dfrac{51}{290}}{\dfrac{2}{5}}\approx 0.49$。