下列( )是实数空间中的闭集.A. [1,2)B. 整数集ZC. 有理数集QD. 无理数集

闭集的定义是：包含所有其极限点的集合。判断一个集合是否为闭集，需验证其中任意收敛序列的极限是否属于该集合。

• 选项A：区间左闭右开，右端点2不在集合中，存在收敛到2的序列极限不属于集合。
• 选项B：整数集中的点彼此孤立，任意收敛序列的极限必为整数，属于集合。
• 选项C：有理数集的极限可能落在无理数中，例如有理数逼近无理数的情况。
• 选项D：无理数集的极限可能落在有理数中，例如无理数序列趋于0的情况。

选项分析

A. [1,2)

• 右端点缺失：考虑序列$a_n = 2 - \frac{1}{n}$，当$n \to \infty$时，$a_n \to 2$，但$2 \notin [1,2)$，故不是闭集。

B. 整数集$\mathbb{Z}$

• 极限点性质：若序列$\{x_n\} \subseteq \mathbb{Z}$收敛，则$\{x_n\}$最终恒等于某个整数$k$，极限$k \in \mathbb{Z}$，故是闭集。

C. 有理数集$\mathbb{Q}$

• 稠密性：存在有理数序列收敛到无理数（如$\sqrt{2}$的有理数逼近），极限不属于$\mathbb{Q}$，故不是闭集。

D. 无理数集

• 稠密性：存在无理数序列收敛到有理数（如$\frac{\pi}{n} \to 0$），极限不属于无理数集，故不是闭集。