题目
(2) lim _(xarrow 0)((1+2x))^dfrac (1{x)};
题目解答
答案
解析
步骤 1：将原式变形
原式 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{x}}$ 可以写成 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {2}{2x}}$，这样可以将指数中的 $x$ 与底数中的 $2x$ 相关联，便于使用极限公式。
步骤 2：使用极限公式
根据极限公式 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以将原式进一步变形为 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\dfrac {1}{\dfrac {1}{2x}})}^{2x\cdot \dfrac {1}{2x}\cdot 2}$，即 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\dfrac {1}{\dfrac {1}{2x}})}^{2x\cdot \dfrac {1}{2x}\cdot 2} = e^2$。
步骤 3：得出结论
根据上述步骤，可以得出原式的极限值为 $e^2$。
原式 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{x}}$ 可以写成 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {2}{2x}}$，这样可以将指数中的 $x$ 与底数中的 $2x$ 相关联，便于使用极限公式。
步骤 2：使用极限公式
根据极限公式 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以将原式进一步变形为 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\dfrac {1}{\dfrac {1}{2x}})}^{2x\cdot \dfrac {1}{2x}\cdot 2}$，即 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\dfrac {1}{\dfrac {1}{2x}})}^{2x\cdot \dfrac {1}{2x}\cdot 2} = e^2$。
步骤 3：得出结论
根据上述步骤，可以得出原式的极限值为 $e^2$。