题目

下列复变函数中, 哪一个是多值函数（）。A.sqrt [6](2)B.sqrt [6](2)C.sqrt [6](2)D.sqrt [6](2)

下列复变函数中, 哪一个是多值函数（）。
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.

题目解答

答案

在复变函数中，
多值函数意味着对于同一个输入值，
函数可以返回多个不同的输出值。
分析每个选项：
A. — 这个函数是多值的，
因为在复平面中，每个非零复数有六个第六次根，分别对应于复平面上的六个点。
B.  — 这个函数是单值的。
任何复数 的十次幂仍然是一个确定的单一复数。
C. — 这个函数是多值的，因为复数 的辐角（或者称为幅角）是有无限多个可能值的，可以通过加上的整数倍来得到不同的有效值。
D. — 这个函数是单值的，它表示 与它的共轭 的乘积，等价于 ，这是一个确定的单一实数。
因此，多值函数的选项是 A. 和 C. 

解析

多值函数的定义是：对于同一个输入值，存在多个不同的输出值。在复变函数中，常见的多值函数包括根函数（如n次根，有n个不同的值）和辐角函数（arg z，有无穷多个值，相差$2\pi$的整数倍）。而幂函数（如z的整数次幂）和模长平方（z·z̄）通常是单值的。

选项分析

A. $\sqrt[6]{2}$

  • 根函数：求2的六次根。在复平面中，任何非零复数的n次根有n个不同的解，因此$\sqrt[6]{2}$有6个不同的值，是多值函数。

B. $z^{10}$

  • 幂函数：给定任意复数z，计算其十次幂的结果是唯一确定的，因此是单值函数。

C. $\arg z$

  • 辐角函数：复数z的辐角可以表示为$\theta + 2k\pi$（$k$为整数），有无限多个可能值，因此是多值函数。

D. $z \cdot z$

  • 模长平方：若$z = x + yi$，则$z \cdot \overline{z} = x^2 + y^2 = |z|^2$，结果是唯一的实数，因此是单值函数。