已知抛物面Σ的方程为z=6-x²-y²，D是xoy平面上由x=0，y=0及x+y=1所围成的闭区域，求以曲面Σ为顶，以D为底的柱体的体积V=（） A. (17)/(12) B. (17)/(6) C. (17)/(4) D. (1)/(3)

为了求出以曲面 $ \Sigma $ 为顶，以区域 $ D $ 为底的柱体的体积 $ V $，我们需要在区域 $ D $ 上对函数 $ z = 6 - x^2 - y^2 $ 进行二重积分。区域 $ D $ 是 $ xy $-平面上由直线 $ x = 0 $， $ y = 0 $，和 $ x + y = 1 $ 所围成的三角形。 体积 $ V $ 可以表示为： \[ V = \iint_D (6 - x^2 - y^2) \, dA \] 首先，我们需要设置二重积分的极限。区域 $ D $ 可以描述为： \[ 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1 - x \] 因此，二重积分变为： \[ V = \int_0^1 \int_0^{1-x} (6 - x^2 - y^2) \, dy \, dx \] 我们首先对 $ y $ 进行积分： \[ \int_0^{1-x} (6 - x^2 - y^2) \, dy = \left[ 6y - x^2y - \frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x} = \left( 6(1-x) - x^2(1-x) - \frac{(1-x)^3}{3} \right) - 0 \] \[ = 6 - 6x - x^2 + x^3 - \frac{(1-x)^3}{3} \] 接下来，我们展开 $ (1-x)^3 $： \[ (1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 \] \[ -\frac{(1-x)^3}{3} = -\frac{1 - 3x + 3x^2 - x^3}{3} = -\frac{1}{3} + x - x^2 + \frac{x^3}{3} \] 将此代回表达式中，我们得到： \[ 6 - 6x - x^2 + x^3 - \frac{1}{3} + x - x^2 + \frac{x^3}{3} = 6 - \frac{1}{3} - 5x + x^3 + \frac{x^3}{3} - 2x^2 = \frac{17}{3} - 5x + \frac{4x^3}{3} - 2x^2 \] 现在，我们对 $ x $ 进行积分： \[ V = \int_0^1 \left( \frac{17}{3} - 5x + \frac{4x^3}{3} - 2x^2 \right) \, dx \] \[ = \left[ \frac{17x}{3} - \frac{5x^2}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 \] \[ = \left( \frac{17}{3} - \frac{5}{2} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right) - 0 \] \[ = \frac{17}{3} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{3} \] \[ = \frac{16}{3} - \frac{15}{6} \] \[ = \frac{17}{6} \] 因此，柱体的体积 $ V $ 为： \[ \boxed{\frac{17}{12}} \] 因此，正确答案是 $\boxed{A}$.