题目
设A= 3 -1 存在正交矩阵Q,使矩阵A对角化-|||--1 3-|||-那么对角形矩阵 =(e)^-1AO 是-|||-4 -2 07-|||--2 0-|||-0 4 0 -4-|||-2 07-|||-0-4-|||-2 0-|||-0 4
题目解答
答案
解析
步骤 1：求矩阵A的特征值
为了找到矩阵A的对角化形式，我们首先需要求出矩阵A的特征值。特征值是通过求解特征方程 $|A-\lambda I|=0$ 得到的，其中I是单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。
步骤 2：求解特征方程
将矩阵A代入特征方程中，得到 $|A-\lambda I| = \left| \begin{matrix} 3-\lambda & -1 \\ -1 & 3-\lambda \end{matrix} \right| = 0$。计算行列式，得到 $(3-\lambda)^2 - (-1)(-1) = 0$，即 $(3-\lambda)^2 - 1 = 0$。进一步简化得到 $(\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$，从而得到特征值 $\lambda_1 = 2$ 和 $\lambda_2 = 4$。
步骤 3：构造对角矩阵
根据特征值，我们可以构造对角矩阵D，其对角线上的元素即为特征值。因此，对角矩阵D为 $\left [ \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right]$。
为了找到矩阵A的对角化形式，我们首先需要求出矩阵A的特征值。特征值是通过求解特征方程 $|A-\lambda I|=0$ 得到的，其中I是单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。
步骤 2：求解特征方程
将矩阵A代入特征方程中，得到 $|A-\lambda I| = \left| \begin{matrix} 3-\lambda & -1 \\ -1 & 3-\lambda \end{matrix} \right| = 0$。计算行列式，得到 $(3-\lambda)^2 - (-1)(-1) = 0$，即 $(3-\lambda)^2 - 1 = 0$。进一步简化得到 $(\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$，从而得到特征值 $\lambda_1 = 2$ 和 $\lambda_2 = 4$。
步骤 3：构造对角矩阵
根据特征值，我们可以构造对角矩阵D，其对角线上的元素即为特征值。因此，对角矩阵D为 $\left [ \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right]$。