已知函数z=f(e^y ,x^2y)，其中z=f(e^y ,x^2y)具有二阶连续偏导数，求z=f(e^y ,x^2y)。

考查要点：本题主要考查多元复合函数的偏导数计算，特别是二阶混合偏导数的求解。需要熟练掌握链式法则和乘积法则的应用。

解题核心思路：

1. 识别中间变量：将函数$z=f(e^y, x^2y)$分解为中间变量$u=e^y$和$v=x^2y$，即$z=f(u,v)$。
2. 一阶偏导数：对$y$求偏导时，需分别对$u$和$v$求导，再与$f$的偏导数结合。
3. 二阶混合偏导数：先对$y$求偏导，再对$x$求导，注意应用乘积法则和链式法则展开。

破题关键点：

• 链式法则：正确处理复合函数的导数传递关系。
• 二阶连续偏导数：保证混合偏导数的顺序可交换，简化计算。

一阶偏导数$\dfrac{\partial z}{\partial y}$

1. 中间变量导数：

   • $u = e^y \Rightarrow \dfrac{\partial u}{\partial y} = e^y$
   • $v = x^2y \Rightarrow \dfrac{\partial v}{\partial y} = x^2$

2. 链式法则求和：
   $\dfrac{\partial z}{\partial y} = f'_1 \cdot \dfrac{\partial u}{\partial y} + f'_2 \cdot \dfrac{\partial v}{\partial y} = e^y f'_1 + x^2 f'_2$

二阶混合偏导数$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

1. 对$\dfrac{\partial z}{\partial y}$的结果求$x$的偏导：

   • 第一项$e^y f'_1$：
     • $f'_1$是关于$u$和$v$的函数，但$u$与$x$无关，故：
       $\dfrac{\partial}{\partial x}(e^y f'_1) = e^y \cdot \dfrac{\partial f'_1}{\partial v} \cdot \dfrac{\partial v}{\partial x} = e^y f'_{12} \cdot 2xy$
   • 第二项$x^2 f'_2$：
     • 应用乘积法则：
       $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 f'_2) = 2x f'_2 + x^2 \cdot \dfrac{\partial f'_2}{\partial x}$
     • $f'_2$对$x$的导数：
       $\dfrac{\partial f'_2}{\partial x} = f'_{22} \cdot \dfrac{\partial v}{\partial x} = f'_{22} \cdot 2xy$
     • 合并得：
       $2x f'_2 + x^2 \cdot 2xy f'_{22} = 2x f'_2 + 2x^2 y f'_{22}$

2. 最终结果：
   $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2xy e^y f'_{12} + 2x f'_2 + 2x^2 y f'_{22}$

   • 可整理为：
     $2x \left( f'_2 + y e^y f'_{12} + x y f'_{22} \right)$