题目
设函数 '(x)= {x)^2,0leqslant xleqslant 1 dfrac (2)(3x),1leqslant xleqslant 2 ..
.
题目解答
答案
解：
解析
步骤 1：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。这里，$a = 0$，$b = 2$，所以有 $f'(ξ) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$。
步骤 2：代入已知条件
根据题目条件，$f(2) - f(0) = 2f'(\xi)$。将步骤 1 中的表达式代入，得到 $2f'(\xi) = 2f'(\xi)$，这表明条件与拉格朗日中值定理的结论一致。
步骤 3：确定中值ξ
由于拉格朗日中值定理保证了在 $(0, 2)$ 内至少存在一点 $\xi$ 满足条件，但没有给出具体的 $\xi$ 值，因此我们需要根据题目条件进一步分析。由于题目没有给出具体的函数 $f(x)$，我们无法确定具体的 $\xi$ 值，但根据拉格朗日中值定理，$\xi$ 必定位于 $(0, 2)$ 内。
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。这里，$a = 0$，$b = 2$，所以有 $f'(ξ) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$。
步骤 2：代入已知条件
根据题目条件，$f(2) - f(0) = 2f'(\xi)$。将步骤 1 中的表达式代入，得到 $2f'(\xi) = 2f'(\xi)$，这表明条件与拉格朗日中值定理的结论一致。
步骤 3：确定中值ξ
由于拉格朗日中值定理保证了在 $(0, 2)$ 内至少存在一点 $\xi$ 满足条件，但没有给出具体的 $\xi$ 值，因此我们需要根据题目条件进一步分析。由于题目没有给出具体的函数 $f(x)$，我们无法确定具体的 $\xi$ 值，但根据拉格朗日中值定理，$\xi$ 必定位于 $(0, 2)$ 内。