求lim_(xto+infty)x^(1)/(x)<|im_end|>作答区域（内容限制1000字，可插入9张图片）输入文字上传图片/视频（最多9张图片和1个视频）
题目解答
答案
设 $y = x^{\frac{1}{x}}$，取自然对数得 $\ln y = \frac{\ln x}{x}$。
求极限：
$\lim_{x \to +\infty} \ln y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}.$
应用洛必达法则（$\frac{\infty}{\infty}$ 型）：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0.$
因此，$\lim_{x \to +\infty} \ln y = 0$，即 $\lim_{x \to +\infty} y = e^0 = 1$。
答案： $\boxed{1}$
解析
本题主要考察利用对数转化和洛必达法则求极限，核心思路是通过取自然对数将幂指函数的极限转化为分式极限，再运用洛必达法则求解。
步骤1：转化幂指函数为对数形式
对于极限$\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$，直接计算幂指函数较复杂，设$y=x^{\frac{1}{x}}$，对等式两边取自然对数，得：
$\ln y=\frac{\ln x}{x}$
此时原极限转化为求$\lim_{x\to+\infty}\ln y$的极限，再通过指数函数反求$y$的极限。
步骤2：计算$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$（$\frac{\infty}{\infty}$型）
当$x\to+\infty$时，$\ln x\to+\infty$，$x\to+\infty$，属于$\frac{\infty}{\infty}$型未定式，适用洛必达法则：
洛必达法则：若$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$为$\frac{\infty}{\infty}$或$\frac{0}{0}$型，且$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
对$\frac{\ln x}{x}$分子分母分别求导：
- 分子$f(x)=\ln x$，导数$f'(x)=\frac{1}{x}$
- 分母$g(x)=x$，导数$g'(x)=1$
因此：
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$
步骤3：反求原极限
由$\lim_{x\to+\infty}\ln y=0$，根据指数函数的连续性：
$\lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}e^{\ln y}=e^{\lim_{x\to+\infty}\ln y}=e^0=1$