单选题(2.0分) 22.（两个重要极限037） lim_(xto0)(sin3x)/(x)=( ).A. 0B. 1C. 1/3D. 3

本题考查重要极限公式的应用，核心思路是将题目中的表达式转化为标准形式$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$。关键在于通过变量替换或调整分母系数，使分子和分母的变量趋于0的速度一致。此外，也可通过洛必达法则直接求解。

方法一：变量替换法

1. 引入变量替换：令$u = 3x$，则当$x \to 0$时，$u \to 0$。
2. 改写原式：
   $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{3}} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} \cdot 3$
3. 应用重要极限：
   $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 \cdot 3 = 3$

方法二：洛必达法则

1. 验证条件：当$x \to 0$时，$\sin 3x \to 0$，分母$x \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。
2. 求导分子和分母：
   $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin 3x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos 3x}{1}$
3. 代入计算：
   $3\cos 0 = 3 \cdot 1 = 3$