题目
【例6.4】求微分方程xy(dy)/(dx)=x^2+y^2满足条件y|_(x=e)=2e的特解.
【例6.4】求微分方程$xy\frac{dy}{dx}=x^{2}+y^{2}$满足条件$y|_{x=e}=2e$的特解.
题目解答
答案
将原方程改写为：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}
\]
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$，代入得：
\[
u + x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \implies x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u}
\]
分离变量并积分：
\[
\int u \, du = \int \frac{1}{x} \, dx \implies \frac{u^2}{2} = \ln |x| + C
\]
代回 $u = \frac{y}{x}$：
\[
\frac{y^2}{2x^2} = \ln |x| + C \implies y^2 = 2x^2 (\ln |x| + C)
\]
由条件 $y|_{x=e} = 2e$ 求得 $C = 1$，故特解为：
\[
\boxed{y^2 = 2x^2 (\ln |x| + 1)}
\]
或由于 $x$ 通常为正，可写为：
\[
\boxed{y^2 = 2x^2 (\ln x + 1)}
\]
解析
步骤 1：将原方程改写为标准形式
原方程为 $xy\frac{dy}{dx}=x^{2}+y^{2}$，改写为： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \]
步骤 2：引入变量替换
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$，代入得： \[ u + x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \implies x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \]
步骤 3：分离变量并积分
分离变量得： \[ u \, du = \frac{1}{x} \, dx \] 积分得： \[ \int u \, du = \int \frac{1}{x} \, dx \implies \frac{u^2}{2} = \ln |x| + C \] 代回 $u = \frac{y}{x}$： \[ \frac{y^2}{2x^2} = \ln |x| + C \implies y^2 = 2x^2 (\ln |x| + C) \]
步骤 4：利用初始条件求解常数 $C$
由条件 $y|_{x=e} = 2e$，代入得： \[ (2e)^2 = 2e^2 (\ln |e| + C) \implies 4e^2 = 2e^2 (1 + C) \implies 2 = 1 + C \implies C = 1 \]
步骤 5：写出特解
代入 $C = 1$，得特解为： \[ y^2 = 2x^2 (\ln |x| + 1) \] 或由于 $x$ 通常为正，可写为： \[ y^2 = 2x^2 (\ln x + 1) \]
原方程为 $xy\frac{dy}{dx}=x^{2}+y^{2}$，改写为： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \]
步骤 2：引入变量替换
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$，代入得： \[ u + x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \implies x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \]
步骤 3：分离变量并积分
分离变量得： \[ u \, du = \frac{1}{x} \, dx \] 积分得： \[ \int u \, du = \int \frac{1}{x} \, dx \implies \frac{u^2}{2} = \ln |x| + C \] 代回 $u = \frac{y}{x}$： \[ \frac{y^2}{2x^2} = \ln |x| + C \implies y^2 = 2x^2 (\ln |x| + C) \]
步骤 4：利用初始条件求解常数 $C$
由条件 $y|_{x=e} = 2e$，代入得： \[ (2e)^2 = 2e^2 (\ln |e| + C) \implies 4e^2 = 2e^2 (1 + C) \implies 2 = 1 + C \implies C = 1 \]
步骤 5：写出特解
代入 $C = 1$，得特解为： \[ y^2 = 2x^2 (\ln |x| + 1) \] 或由于 $x$ 通常为正，可写为： \[ y^2 = 2x^2 (\ln x + 1) \]