设f(x,y)为二元连续函数，则 int_(1)^2 dx int_(sqrt(x))^x f(x,y)dy + int_(2)^4 dx int_(sqrt(x))^2 f(x,y)dy = ( )A. int_(1)^2 dy int_(y)^y^2 f(x,y)dxB. int_(1)^4 dy int_(y^2)^y f(x,y)dxC. int_(1)^4 dy int_(y)^y^2 f(x,y)dxD. int_(1)^2 dy int_(y^2)^y f(x,y)dx

本题考查二重积分交换积分次序的知识点。解题的关键在于根据已知的积分限确定积分区域，然后再根据新的积分次序重新确定积分限。

步骤一：分析第一个积分$\int_{1}^{2} dx \int_{\sqrt{x}}^{x} f(x,y)dy$对应的积分区域$D_1$

对于$\int_{1}^{2} dx \int_{\sqrt{x}}^{x} f(x,y)dy$，积分变量的范围为$1\leqslant x\leqslant 2$，$\sqrt{x}\leqslant y\leqslant x$。
由$y = \sqrt{x}$可得$x = y^2$，由$y = x$可得$x = y$。
联立$\begin{cases}y = \sqrt{x}\\y = x\end{cases}$，将$y = x$代入$y = \sqrt{x}$，得到$x = \sqrt{x}$，即$x^2 - x = 0$，$x(x - 1) = 0$，解得$x = 0$或$x = 1$，对应的$y = 0$或$y = 1$。
所以积分区域$D_1$是由曲线$y = \sqrt{x}$，直线$y = x$以及$x = 1$，$x = 2$所围成的区域。

步骤二：分析第二个积分$\int_{2}^{4} dx \int_{\sqrt{x}}^{2} f(x,y)dy$对应的积分区域$D_2$

对于$\int_{2}^{4} dx \int_{\sqrt{x}}^{2} f(x,y)dy$，积分变量的范围为$2\leqslant x\leqslant 4$，$\sqrt{x}\leqslant y\leqslant 2$。
同样由$y = \sqrt{x}$可得$x = y^2$。
联立$\begin{cases}y = \sqrt{x}\\y = 2\end{cases}$，将$y = 2$代入$y = \sqrt{x}$，得到$x = 4$。
所以积分区域$D_2$是由曲线$y = \sqrt{x}$，直线$y = 2$以及$x = 2$，$x = 4$所围成的区域。

步骤三：确定总的积分区域$D = D_1\cup D_2$

综合$D_1$和$D_2$，总的积分区域$D$是由曲线$y = \sqrt{x}$（即$x = y^2$），直线$y = x$以及$y = 2$所围成的区域。
此时交换积分次序，先对$x$积分，再对$y$积分。
$y$的范围是从$1$到$2$，对于固定的$y$，$x$的范围是从$y$到$y^2$。

步骤四：写出交换积分次序后的二重积分

根据上述分析，交换积分次序后可得$\int_{1}^{2} dy \int_{y}^{y^2} f(x,y)dx$。