设sim U(1,5)，则二次方程sim U(1,5)有实根的概率为______sim U(1,5)sim U(1,5)sim U(1,5)sim U(1,5)

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算以及二次方程有实根的条件。

解题核心思路：

1. 二次方程有实根的条件是判别式$\Delta \geq 0$，由此推导出关于$X$的不等式。
2. 均匀分布的概率计算：根据$X$的取值范围，计算满足条件的区间长度占总区间长度的比例。

破题关键点：

• 明确$X \sim U(1,5)$的取值范围为$(1,5)$，排除$X \leq -2$的可能性。
• 计算$X \geq 2$时的区间长度，并转化为概率。

步骤1：确定二次方程有实根的条件
二次方程$t^2 + Xt + 1 = 0$有实根的条件是判别式$\Delta \geq 0$，即：
$\Delta = X^2 - 4 \geq 0 \implies X \geq 2 \ \text{或} \ X \leq -2.$

步骤2：分析$X$的分布范围
由于$X \sim U(1,5)$，其取值范围为$1 < X < 5$，因此：

• $X \leq -2$的情况不可能发生，对应概率为$0$。
• $X \geq 2$的取值区间为$[2, 5)$。

步骤3：计算概率
均匀分布的概率密度函数为$\frac{1}{5-1} = \frac{1}{4}$。
$X \geq 2$的区间长度为$5 - 2 = 3$，对应概率为：
$P(X \geq 2) = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75.$

最终概率：
$P(\text{有实根}) = P(X \geq 2) + P(X \leq -2) = 0.75 + 0 = 0.75.$