二次型为 f = -x_1^2 - 2x_2^2 - 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 。(1) 写出其对应的矩阵； (2) 判断该二次型的有定性。
二次型为 $ f = -x_1^2 - 2x_2^2 - 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 $。
(1) 写出其对应的矩阵； (2) 判断该二次型的有定性。
题目解答
答案
(1) 二次型 $ f = -x_1^2 - 2x_2^2 - 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 $ 对应的矩阵 $ A $ 为：
$A = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & -2 & 1 \\0 & 1 & -3\end{pmatrix}$
(2) 判断有定性：
计算特征值，特征方程为 $ \det(A - \lambda I) = 0 $，解得特征值为 $ \lambda_1 = -2 $，$ \lambda_2 = -2 + \sqrt{3} $，$ \lambda_3 = -2 - \sqrt{3} $，均为负。
或者，顺序主子式 $ D_1 = -1 < 0 $，$ D_2 = 1 > 0 $，$ D_3 = -2 < 0 $，满足负定条件。
答案：
(1) 矩阵 $ A $ 为 $\boxed{\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}}$
(2) 二次型为 $\boxed{\text{负定}}$
解析
本题主要考查二次型矩阵的写法以及二次型有定性的判断。解题思路如下：
（1）求二次型对应的矩阵
对于二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_ix_j$（$a_{ij}=a_{ji}$），其对应的矩阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$，其中$a_{ii}$是$x_{i}^{2}$的系数，$a_{ij}=a_{ji}$（$i\neq j$）是$x_ix_j$系数的一半。
在二次型$f = -x_1^2 - 2x_2^2 - 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3$中：
- $x_1^2$的系数为$-1$，所以$a_{11}=-1$；
- $x_2^2$的系数为$-2$，所以$a_{22}=-2$；
- $x_3^2$的系数为$-3$，所以$a_{33}=-3$；
- $x_1x_2$的系数为$2$，则$a_{12}=a_{21}=\frac{2}{2} = 1$；
- $x_1x_3$的系数为$0$，则$a_{13}=a_{31}=\frac{0}{2} = 0$；
- $x_2x_3$的系数为$2$，则$a_{23}=a_{32}=\frac{2}{2} = 1$。
所以二次型$f$对应的矩阵$A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & -2 & 1 \\0 & 1 & -3\end{pmatrix}$。
（2）判断二次型的有定性
判断二次型有定性有两种常用方法，这里分别用特征值法和顺序主子式法进行判断。
特征值法
二次型的有定性由其矩阵的特征值决定。若矩阵$A$的所有特征值都大于$0$，则二次型正定；若所有特征值都小于$0$，则二次型负定；若特征值有正有负，则二次型不定。
矩阵$A$的特征方程为$\det(A - \lambda I) = 0$，其中$I$为三阶单位矩阵，即：
$\begin{align*}\det(A - \lambda I)&=\begin{vmatrix}-1 - \lambda & 1 & 0 \\1 & -2 - \lambda & 1 \\0 & 1 & -3 - \lambda\end{vmatrix}\\&= (-1 - \lambda)\begin{vmatrix}-2 - \lambda & 1 \\1 & -3 - \lambda\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1 & 1 \\0 & -3 - \lambda\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}1 & -2 - \lambda \\0 & 1\end{vmatrix}\\&= (-1 - \lambda)[(-2 - \lambda)(-3 - \lambda)-1]-1\times(-3 - \lambda)\\&= (-1 - \lambda)(\lambda^2 + 5\lambda + 6 - 1)+(3 + \lambda)\\&= (-1 - \lambda)(\lambda^2 + 5\lambda + 5)+(3 + \lambda)\\&= -\lambda^3 - 5\lambda^2 - 5\lambda - \lambda^2 - 5\lambda - 5 + 3 + \lambda\\&= -\lambda^3 - 6\lambda^2 - 9\lambda - 2\\&= -(\lambda + 2)(\lambda^2 + 2\lambda + 1)\\&= -(\lambda + 2)(\lambda + 1)^2\end{align*}$
令$\det(A - \lambda I) = 0$，即$-(\lambda + 2)(\lambda + 1)^2 = 0$，解得$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = \lambda_3 = -1$，均为负，所以二次型负定。
顺序主子式法
对于$n$阶矩阵$A$，其$k$阶顺序主子式$D_k$是$A$的左上角$k$阶子矩阵的行列式。若$D_1\lt0$，$D_2\gt0$，$D_3\lt0$，$\cdots$，$(-1)^nD_n\gt0$，则二次型负定。
- 一阶顺序主子式$D_1 = a_{11}=-1\lt0$；
- 二阶顺序主子式$D_2=\begin{vmatrix}-1 & 1 \\1 & -2\end{vmatrix}=(-1)\times(-2)-1\times1 = 2 - 1 = 1\gt0$；
- 三阶顺序主子式$D_3=\begin{vmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & -2 & 1 \\0 & 1 & -3\end{vmatrix}=-1\times\begin{vmatrix}-2 & 1 \\1 & -3\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1 & 1 \\0 & -3\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}1 & -2 \\0 & 1\end{vmatrix}=-1\times(6 - 1)-1\times(-3 - 0)= -5 + 3 = -2\lt0$。
满足负定条件，所以二次型负定。