题目
6. 设事件A, B, (A)gt 0 (B)gt 0, 且 A⊆B , 则下列命题正确的是 __-|||-(A) (Acup B)=P(A)+P(B)-|||-(B) P(AB)=P(A)P(B)-|||-(C) (A|B)=dfrac (P(A))(P(B))-|||-(D) P(A-B)=P(A)-P(B)
题目解答
答案
解析:因为A⊆B,所以P(A∪B)=P(B),P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=0,故(A)、(D)不成立.又因为A⊆B,所以P(AB)=P(A),而P(B)≠0,故P(AB)≠P(A)P(B),(B)不成立.由P(AB)=P(A),由条件概率定义,得P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)/P(B),故(C)成立.
(C)
(C)
解析
步骤 1：分析事件A和B的关系
由于 $A\subset B$，即事件A是事件B的子集，这意味着事件A发生时，事件B也一定发生。因此，$A\cup B = B$，$A\cap B = A$，$A-B = \emptyset$。
步骤 2：计算 $P(A\cup B)$
由于 $A\cup B = B$，所以 $P(A\cup B) = P(B)$。因此，选项(A)不成立，因为 $P(A\cup B) = P(B) \neq P(A) + P(B)$。
步骤 3：计算 $P(AB)$
由于 $A\cap B = A$，所以 $P(AB) = P(A)$。因此，选项(B)不成立，因为 $P(AB) = P(A) \neq P(A)P(B)$。
步骤 4：计算 $P(A|B)$
根据条件概率的定义，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$。由于 $P(AB) = P(A)$，所以 $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$。因此，选项(C)成立。
步骤 5：计算 $P(A-B)$
由于 $A-B = \emptyset$，所以 $P(A-B) = P(\emptyset) = 0$。因此，选项(D)不成立，因为 $P(A-B) = 0 \neq P(A) - P(B)$。
由于 $A\subset B$，即事件A是事件B的子集，这意味着事件A发生时，事件B也一定发生。因此，$A\cup B = B$，$A\cap B = A$，$A-B = \emptyset$。
步骤 2：计算 $P(A\cup B)$
由于 $A\cup B = B$，所以 $P(A\cup B) = P(B)$。因此，选项(A)不成立，因为 $P(A\cup B) = P(B) \neq P(A) + P(B)$。
步骤 3：计算 $P(AB)$
由于 $A\cap B = A$，所以 $P(AB) = P(A)$。因此，选项(B)不成立，因为 $P(AB) = P(A) \neq P(A)P(B)$。
步骤 4：计算 $P(A|B)$
根据条件概率的定义，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$。由于 $P(AB) = P(A)$，所以 $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$。因此，选项(C)成立。
步骤 5：计算 $P(A-B)$
由于 $A-B = \emptyset$，所以 $P(A-B) = P(\emptyset) = 0$。因此，选项(D)不成立，因为 $P(A-B) = 0 \neq P(A) - P(B)$。