题目
17. (2.0分) 定积分int abu(x)v^prime(x)dx使用分部积分法则后，结果为（） A. u(b)v(b)-u(a)v(a)+int abu^prime(x)v(x)dx B. u(b)v(a)-u(a)v(b)-int abu^prime(x)v(x)dx C. u(b)v(b)-u(a)v(a)-int abu^prime(x)v(x)dx D. u(b)v(a)-u(a)v(b)+int abu^prime
17. (2.0分) 定积分$\int abu(x)v^{\prime}(x)dx$使用分部积分法则后，结果为（）
A. $u(b)v(b)-u(a)v(a)+\int abu^{\prime}(x)v(x)dx$
B. $u(b)v(a)-u(a)v(b)-\int abu^{\prime}(x)v(x)dx$
C. $u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int abu^{\prime}(x)v(x)dx$
D. $u(b)v(a)-u(a)v(b)+\int abu^{\prime}$
A. $u(b)v(b)-u(a)v(a)+\int abu^{\prime}(x)v(x)dx$
B. $u(b)v(a)-u(a)v(b)-\int abu^{\prime}(x)v(x)dx$
C. $u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int abu^{\prime}(x)v(x)dx$
D. $u(b)v(a)-u(a)v(b)+\int abu^{\prime}$
题目解答
答案
分部积分公式为：
\[
\int_a^b u(x)v'(x)dx = \left[ u(x)v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx
\]
其中，$\left[ u(x)v(x) \right]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$。代入公式得：
\[
\int_a^b u(x)v'(x)dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'(x)v(x)dx
\]
与选项C一致。因此，正确答案为：
\[
\boxed{C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查定积分的分部积分法的应用，需要掌握分部积分公式的正确形式及其在定积分中的具体表达。
解题核心思路：分部积分法的核心是将积分转化为更易计算的形式。对于定积分 $\int_a^b u(x)v'(x)dx$，其公式为：
$\int_a^b u(x)v'(x)dx = \left[ u(x)v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx$
其中，$\left[ u(x)v(x) \right]_a^b$ 表示在上下限代入后的差值，即 $u(b)v(b) - u(a)v(a)$。
破题关键点：
- 正确记忆分部积分公式，注意符号和上下限代入的顺序。
- 区分选项中的符号差异，特别是积分项前的正负号。
根据分部积分公式：
$\int_a^b u(x)v'(x)dx = \left[ u(x)v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx$
-
计算边界项：
$\left[ u(x)v(x) \right]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$ -
处理剩余积分项：
原积分中的 $\int_a^b u(x)v'(x)dx$ 被分解为边界项和新的积分 $\int_a^b u'(x)v(x)dx$，且新积分前的符号为负号。 -
对比选项：
- 选项 C 的表达式为 $u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'(x)v(x)dx$，与公式完全一致。
- 其他选项中，符号或边界项的顺序存在错误（如选项 A 积分前为加号，选项 B、D 的边界项顺序颠倒）。