注 类似地， (1)设f(x)连续且为奇函数，则下列函数中必为偶函数的为 (A.) int_(0)^xdu int_(a)^utf(t)dt. (B.) int_(a)^xdu int_(0)^uf(t)dt. (C.) int_(0)^xdu int_(a)^uf(t)dt. (D.) int_(a)^xdu int_(0)^utf(t)dt.

考查要点：本题主要考查奇偶函数的积分性质及复合积分的奇偶性判断。
解题核心思路：

1. 奇偶函数的乘积性质：奇函数乘奇函数为偶函数，奇函数乘偶函数为奇函数。
2. 积分的奇偶性：
   • 偶函数在对称区间上的积分结果为偶函数；
   • 奇函数在对称区间上的积分结果为奇函数；
   • 非对称区间积分的结果需通过变量替换判断奇偶性。
3. 分层分析：从内层积分到外层积分，逐层判断奇偶性，最终确定整体函数的奇偶性。

破题关键点：

• 选项D的特殊性：内层积分被积函数为偶函数，积分上下限对称（从0到u），结果为奇函数；外层积分下限为0时，积分奇函数结果为偶函数。

选项分析

选项A：$\int_{0}^{x} du \int_{a}^{u} t f(t) dt$

1. 内层积分：被积函数$t f(t)$为偶函数（奇函数$t$乘奇函数$f(t)$），但积分上下限为$a$到$u$，不对称，结果不一定是偶函数。
2. 外层积分：积分结果无法保证为偶函数。

选项B：$\int_{a}^{x} du \int_{0}^{u} f(t) dt$

1. 内层积分：$\int_{0}^{u} f(t) dt$为偶函数（奇函数积分结果为偶函数）。
2. 外层积分：积分上下限含$a$，若$a \neq 0$，积分结果不一定是偶函数。

选项C：$\int_{0}^{x} du \int_{a}^{u} f(t) dt$

1. 内层积分：$\int_{a}^{u} f(t) dt$为奇函数（奇函数积分结果为偶函数，但积分上下限不对称）。
2. 外层积分：积分结果无法保证为偶函数。

选项D：$\int_{a}^{x} du \int_{0}^{u} t f(t) dt$

1. 内层积分：被积函数$t f(t)$为偶函数，积分上下限对称（从0到$u$），结果为奇函数$\int_{0}^{u} t f(t) dt$。
2. 外层积分：若$a = 0$，积分奇函数结果为偶函数$\int_{0}^{x} du \int_{0}^{u} t f(t) dt$。
3. 关键结论：当$a = 0$时，选项D必为偶函数，其他选项无法保证。