题目
三、设二维随机变量(X,Y)的分布函数为-|||-F(x,y)= (1-k(e)^-x)(1-(e)^-y),xgt 0,ygt 0,-|||-0, 其他-|||-求:(1)k的值: (2)二维随机变量(X,Y)的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定k的值
根据分布函数的性质，当x和y都趋向于正无穷时，F(x,y)应该等于1。因此，我们有：
$$
\lim_{x\to\infty}\lim_{y\to\infty}F(x,y) = \lim_{x\to\infty}\lim_{y\to\infty}(1-k{e}^{-x})(1-{e}^{-y}) = 1
$$
由于$e^{-x}$和$e^{-y}$在x和y趋向于正无穷时都趋向于0，因此：
$$
(1-k\cdot0)(1-0) = 1
$$
从而得到：
$$
1-k\cdot0 = 1
$$
因此，k的值为1。
步骤 2：求二维随机变量(X,Y)的概率密度
分布函数F(x,y)的偏导数给出了概率密度函数f(x,y)。因此，我们对F(x,y)关于x和y分别求偏导数：
$$
f(x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}F(x,y)
$$
对于给定的分布函数，我们有：
$$
F(x,y) = (1-e^{-x})(1-e^{-y})
$$
对x求偏导数：
$$
\frac{\partial}{\partial x}F(x,y) = e^{-x}(1-e^{-y})
$$
对y求偏导数：
$$
\frac{\partial}{\partial y}F(x,y) = e^{-y}(1-e^{-x})
$$
因此，概率密度函数为：
$$
f(x,y) = e^{-x}e^{-y} = e^{-(x+y)}
$$
根据分布函数的性质，当x和y都趋向于正无穷时，F(x,y)应该等于1。因此，我们有：
$$
\lim_{x\to\infty}\lim_{y\to\infty}F(x,y) = \lim_{x\to\infty}\lim_{y\to\infty}(1-k{e}^{-x})(1-{e}^{-y}) = 1
$$
由于$e^{-x}$和$e^{-y}$在x和y趋向于正无穷时都趋向于0，因此：
$$
(1-k\cdot0)(1-0) = 1
$$
从而得到：
$$
1-k\cdot0 = 1
$$
因此，k的值为1。
步骤 2：求二维随机变量(X,Y)的概率密度
分布函数F(x,y)的偏导数给出了概率密度函数f(x,y)。因此，我们对F(x,y)关于x和y分别求偏导数：
$$
f(x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}F(x,y)
$$
对于给定的分布函数，我们有：
$$
F(x,y) = (1-e^{-x})(1-e^{-y})
$$
对x求偏导数：
$$
\frac{\partial}{\partial x}F(x,y) = e^{-x}(1-e^{-y})
$$
对y求偏导数：
$$
\frac{\partial}{\partial y}F(x,y) = e^{-y}(1-e^{-x})
$$
因此，概率密度函数为：
$$
f(x,y) = e^{-x}e^{-y} = e^{-(x+y)}
$$