题目

设'(ln x)=1+2x,且'(ln x)=1+2x, 则'(ln x)=1+2x________.

设 $f'(\ln x)=1+2x$ ,且 $f(0)=0$ , 则 $f(x)=$ ________.

题目解答

答案

解：设 $u=\ln x$ ，则 $x=e^u,$

∴ $f'\left(u\right)=1+2e^u$

$f\left(u\right)=\int_{ }^{ }\left(1+2e^u\right)du=u+2e^u+C$

∴ $f\left(x\right)=x+2e^x+C$

$f\left(0\right)=0+2e^0+C=2+C=0$

解得， $C=-2$

∴ $f\left(x\right)=x+2e^x-2$

故本题答案为 $x+2e^x-2$ .

解析

步骤 1：变量替换
设$u=\ln x$，则$x={e}^{u}$，这样可以将原函数$f'(\ln x)$转换为$f'(u)$，便于求解。
步骤 2：求导转换
根据步骤1的变量替换，$f'(\ln x)=1+2x$可以转换为$f'(u)=1+2{e}^{u}$。
步骤 3：积分求原函数
对$f'(u)=1+2{e}^{u}$进行积分，得到$f(u)=u+2{e}^{u}+C$，其中$C$为积分常数。
步骤 4：确定积分常数
根据题目条件$f(0)=0$，代入$f(u)=u+2{e}^{u}+C$中，得到$0=0+2{e}^{0}+C$，解得$C=-2$。
步骤 5：写出最终函数表达式
将$C=-2$代入$f(u)=u+2{e}^{u}+C$中，得到$f(u)=u+2{e}^{u}-2$。再将$u$替换回$\ln x$，得到$f(x)=x+2{e}^{x}-2$。