题目

设离散型随机变量 X 的分布列为P(X=k)=ae^-k+2，k=0,1,2,...，则 a= ________

设离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=k)=ae^{-k+2}$，$k=0,1,2,\cdots$，则 $a=$ ________

题目解答

答案

我们已知离散型随机变量 $ X $ 的分布列为：

$P(X = k) = a e^{-k + 2}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$

要求参数 $ a $ 的值，使得这个分布列是一个合法的概率分布，即满足：

$\sum_{k=0}^{\infty} P(X = k) = 1$

第一步：写出概率和的表达式

$\sum_{k=0}^{\infty} P(X = k) = \sum_{k=0}^{\infty} a e^{-k + 2}$

我们可以把常数因子提出来：

$= a \sum_{k=0}^{\infty} e^{-k + 2} = a e^{2} \sum_{k=0}^{\infty} e^{-k}$

因为 $ e^{-k + 2} = e^2 \cdot e^{-k} $

第二步：计算无穷级数

注意到 $ \sum_{k=0}^{\infty} e^{-k} $ 是一个等比数列，首项为 $ 1 $（当 $ k=0 $ 时，$ e^0 = 1 $），公比 $ r = e^{-1} = \frac{1}{e} < 1 $，所以级数收敛。

等比数列求和公式：

$\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1 - r}, \quad |r| < 1$

这里 $ r = e^{-1} $，所以：

$\sum_{k=0}^{\infty} e^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( e^{-1} \right)^k = \frac{1}{1 - e^{-1}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{e}{e - 1}$

第三步：代入总概率公式

$a e^2 \cdot \sum_{k=0}^{\infty} e^{-k} = a e^2 \cdot \frac{e}{e - 1} = a \cdot \frac{e^3}{e - 1}$

这个总和必须等于 1：

$a \cdot \frac{e^3}{e - 1} = 1$

第四步：解出 $ a $

$a = \frac{e - 1}{e^3}$

最终答案：

$\boxed{\frac{e - 1}{e^3}}$

解析

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，即所有可能取值的概率之和等于1，以及无穷等比数列求和公式的应用。

解题核心思路：

  1. 利用分布列的归一性：根据概率分布的性质，所有概率之和为1，建立方程。
  2. 提取常数项：将与求和变量无关的常数项（如$a$和$e^2$）提出到求和符号外。
  3. 转化为等比数列求和：将剩余部分转化为等比数列求和，应用公式求和。
  4. 解方程求参数：通过等式求解$a$的值。

破题关键点：

  • 识别等比数列的结构：将$e^{-k}$视为公比$r = e^{-1}$的等比数列。
  • 正确应用等比数列求和公式：注意公比的绝对值小于1的条件。

根据离散型随机变量分布列的归一性，所有概率之和为1：

$\sum_{k=0}^{\infty} P(X = k) = \sum_{k=0}^{\infty} a e^{-k + 2} = 1$

步骤1：提取常数项
将$a$和$e^2$提出到求和符号外：

$a e^2 \sum_{k=0}^{\infty} e^{-k} = 1$

步骤2：转化为等比数列求和
观察到$\sum_{k=0}^{\infty} e^{-k}$是首项为1、公比$r = e^{-1}$的等比数列，其和为：

$\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1 - r} \quad \text{（其中$r = e^{-1} < 1$）}$

代入$r = e^{-1}$得：

$\sum_{k=0}^{\infty} e^{-k} = \frac{1}{1 - e^{-1}} = \frac{e}{e - 1}$

步骤3：代入方程求解$a$
将求和结果代入原方程：

$a e^2 \cdot \frac{e}{e - 1} = 1 \implies a \cdot \frac{e^3}{e - 1} = 1$

解得：

$a = \frac{e - 1}{e^3}$