设 A,B 是任意二事件 , 其中 A 的概率不等于 0 和 1, 证明 P(B|A)=P(B|A˙¯¯¯) 是事件 A 与 B 独立的充分必要条件。

考查要点：本题主要考查条件概率的性质及事件独立性的判定条件，需要理解条件概率的定义和事件独立的充要条件。

解题核心思路：

1. 必要性：若事件A与B独立，则A的补集与B也独立，从而直接推出条件概率相等。
2. 充分性：通过条件概率相等建立方程，结合概率的基本性质推导出$P(AB)=P(A)P(B)$，从而证明独立性。

破题关键点：

• 独立事件的传递性：若A与B独立，则A的补集与B也独立。
• 条件概率的表达式转换：将条件概率等式转化为联合概率的方程，通过代数变形验证独立性。

必要性证明

若事件$A$与$B$独立，则根据独立性的定义，有：
$P(AB) = P(A)P(B).$
此时，条件概率可表示为：
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(A)P(B)}{P(A)} = P(B).$
同理，由于$A$的补集$\overline{A}$与$B$也独立，可得：
$P(B|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})} = \frac{P(\overline{A})P(B)}{P(\overline{A})} = P(B).$
因此，$P(B|A) = P(B|\overline{A})$。

充分性证明

假设$P(B|A) = P(B|\overline{A})$，根据条件概率的定义，有：
$\frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}.$
注意到$P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB)$，且$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$，代入得：
$\frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(B) - P(AB)}{1 - P(A)}.$
交叉相乘整理得：
$P(AB)(1 - P(A)) = P(A)(P(B) - P(AB)).$
展开并移项：
$P(AB) - P(A)P(AB) = P(A)P(B) - P(A)P(AB).$
消去相同项后，得到：
$P(AB) = P(A)P(B).$
因此，事件$A$与$B$独立。