题目

（分子分母同除以x的最高次幂求极限）例 求lim_(xtoinfty)(2x^3+3x^2+5)/(7x^3)+4x^(2-1)

（分子分母同除以x的最高次幂求极限） 例 求$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}+3x^{2}+5}{7x^{3}+4x^{2}-1}$

题目解答

答案

将分子和分母同时除以 $x^3$，得
$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3}}{7 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^3}}.$
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{3}{x}$、$\frac{5}{x^3}$、$\frac{4}{x}$、$\frac{1}{x^3}$ 均趋近于 0，故极限为
$\frac{2 + 0 + 0}{7 + 0 - 0} = \frac{2}{7}.$
答案： $\boxed{\frac{2}{7}}$

解析

考查要点：本题主要考查分式函数在无穷远处的极限求解方法，特别是当分子和分母的最高次数相同时的处理技巧。

解题核心思路：
当分子和分母的最高次数相同时，分子分母同除以最高次幂，将分式转化为多项式与无穷小量的组合，从而简化极限计算。此时，极限值等于最高次项系数之比。

破题关键点：

  1. 识别最高次项：分子和分母的最高次项均为$x^3$。
  2. 消去无穷大因子：通过除以$x^3$，将分式中的无穷大因子$x^3$约去，使剩余项在$x \to \infty$时趋于有限值。
  3. 无穷小量的性质：形如$\frac{1}{x}$或$\frac{1}{x^3}$的项在$x \to \infty$时均趋于$0$。

步骤1：分子分母同除以$x^3$
将原式分子和分母同时除以$x^3$，得到：
$\frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{7x^3 + 4x^2 - 1} = \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3}}{7 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^3}}.$

步骤2：分析各分项的极限
当$x \to \infty$时，$\frac{3}{x}$、$\frac{5}{x^3}$、$\frac{4}{x}$、$\frac{1}{x^3}$均趋于$0$。

步骤3：代入极限值
将趋于$0$的项替换为$0$，得到：
$\frac{2 + 0 + 0}{7 + 0 - 0} = \frac{2}{7}.$