在高台上分别沿45°仰角方向和水平方向,以同样速率投出两颗小石子,忽略空气阻力,则它们落地时速度 ( )A. 大小不同,方向不同.B. 大小相同,方向不同.C. 大小相同,方向相同.D. 大小不同,方向相同.

本题考查机械能守恒定律和平抛运动与斜抛运动的对比。关键在于理解忽略空气阻力时机械能守恒，以及两种抛体运动轨迹对落地速度方向的影响。

核心思路：

1. 两石子初速度大小相同，初始高度相同，机械能初始值相同。
2. 忽略空气阻力，机械能守恒，因此落地时动能相等，速度大小相同。
3. 由于轨迹不同（斜抛和水平抛），落地时速度方向不同。

机械能守恒分析

• 初状态：两石子初动能均为 $\frac{1}{2}mv_0^2$，初始重力势能均为 $mgH$（$H$为高台高度）。
• 末状态：落地时重力势能为 $0$，动能为 $\frac{1}{2}mv_{\text{末}}^2$。
• 机械能守恒：
  $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgH = \frac{1}{2}mv_{\text{末}}^2$
  解得 $v_{\text{末}} = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$，与抛出方向无关，故速度大小相同。

速度方向分析

• 水平抛出石子：做平抛运动，落地时速度方向为斜向下，与水平方向夹角 $\theta_1$ 满足 $\tan\theta_1 = \frac{v_{y}}{v_0}$，其中 $v_y = \sqrt{2gH}$。
• 斜抛石子：轨迹对称，落地时速度方向与初速度方向对称，即与水平方向夹角仍为 $45^\circ$，但方向向下。
• 两种轨迹不同，导致速度方向不同。