5.[判断题]判断下列做法是否正确：令x=sin t(-(pi)/(2)<(pi)/(2))，则intsqrt(1-x^2)dx=intcos^2tdt=int(1+cos2t)/(2)dt=(t)/(2)+(sin2t)/(4)+C.（）A 对B 错

为了判断给定的做法是否正确，让我们逐步分析解题过程。 给定的积分是： \[ \int \sqrt{1 - x^2} \, dx \] 解题过程建议使用代换 $ x = \sin t $ 其中 $ -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} $。这个代换是有效的，因为正弦函数在区间 $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ 内是一对一的，其值域为 $ (-1, 1) $，与 $ x $ 的定义域相匹配。 使用这个代换，我们有： \[ dx = \cos t \, dt \] 将 $ x = \sin t $ 和 $ dx = \cos t \, dt $ 代入积分，我们得到： \[ \int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \, dt \] 由于 $ -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} $， $ \cos t $ 是正的，所以 $ \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t $。因此，积分变为： \[ \int \cos^2 t \, dt \] 接下来，我们使用余弦的二倍角恒等式， $ \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} $。将这个恒等式代入积分，我们得到： \[ \int \cos^2 t \, dt = \int \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt \] 我们可以将这个积分拆分为两个独立的积分： \[ \int \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int 1 \, dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t \, dt \] 第一个积分很简单： \[ \frac{1}{2} \int 1 \, dt = \frac{t}{2} \] 对于第二个积分，我们使用代换 $ u = 2t $，所以 $ du = 2 \, dt $ 或 $ dt = \frac{1}{2} \, du $。将这个代换代入积分，我们得到： \[ \frac{1}{2} \int \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \int \cos u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{4} \int \cos u \, du = \frac{\sin u}{4} = \frac{\sin 2t}{4} \] 将两个结果相加，我们得到： \[ \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C \] 然而，我们需要将答案表示为 $ x $ 的函数。因为 $ x = \sin t $，我们有 $ t = \arcsin x $。此外， $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2x \sqrt{1 - x^2} $。将这些代回表达式，我们得到： \[ \frac{\arcsin x}{2} + \frac{2x \sqrt{1 - x^2}}{4} + C = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{2} + C \] 因此，正确的答案是： \[ \int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{2} + C \] 给定的解题过程没有将最终答案表示为 $ x $ 的函数，所以严格来说，它并不完整。然而，积分过程本身是正确的。 因此，正确选项是： \[ \boxed{B} \]