10.在下列级数中发散的是 () .-|||-A. sum _(n=1)^infty dfrac (1)(sqrt {{n)^3}} B. dfrac (1)(2)+dfrac (1)(4)+dfrac (1)(8)+dfrac (1)(16)+dfrac (1)(32)+... -|||-C. .001+sqrt (0.001)+sqrt [3](0.001)+... D. dfrac (3)(5)-dfrac ({3)^2}({5)^2}+dfrac ({3)^3}({5)^3}-dfrac ({3)^4}({5)^4}+dfrac ({3)^5}({5)^5}-...

考查要点：本题主要考查无穷级数的收敛性判断，涉及p级数、等比级数、收敛必要条件及交错级数的性质。

解题核心思路：

1. 判断通项是否趋于0：若通项不趋于0，级数必发散；
2. 识别级数类型：根据通项形式判断级数类型（如p级数、等比级数等），利用对应判别法；
3. 特殊级数性质：如交错级数的绝对收敛性。

破题关键点：

• 选项C的通项极限为1，直接违反收敛必要条件；
• 其他选项可通过对应判别法（p值、公比绝对值等）判断收敛。

选项A：$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {{n}^{3}}}$

• 通项形式：$\dfrac{1}{n^{3/2}}$，对应p级数（$p = \dfrac{3}{2}$）。
• 判断依据：当$p > 1$时，p级数收敛。
• 结论：收敛。

选项B：$\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{8}+\cdots$

• 通项形式：首项$a = \dfrac{1}{2}$，公比$r = \dfrac{1}{2}$的等比级数。
• 判断依据：$|r| < 1$时，等比级数收敛。
• 结论：收敛。

选项C：$0.001+\sqrt {0.001}+\sqrt [3]{0.001}+\cdots$

• 通项形式：$\left(0.001\right)^{1/n}$。
• 极限分析：当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{n} \to 0$，故$\left(0.001\right)^{1/n} \to 0.001^0 = 1$。
• 判断依据：通项不趋于0，级数必发散。
• 结论：发散。

选项D：$\dfrac {3}{5}-\dfrac {{3}^{2}}{{5}^{2}}+\dfrac {{3}^{3}}{{5}^{3}}-\cdots$

• 通项形式：首项$a = \dfrac{3}{5}$，公比$r = -\dfrac{3}{5}$的交错等比级数。
• 判断依据：$|r| = \dfrac{3}{5} < 1$，级数绝对收敛。
• 结论：收敛。