题目
【例2】设 A=(}3&2&0&5&03&-2&3&6&-12&0&1&5&-31&6&-4&-1&4),求矩阵A的秩。
【例2】设 $A=\left(\begin{matrix}3&2&0&5&0\\3&-2&3&6&-1\\2&0&1&5&-3\\1&6&-4&-1&4\end{matrix}\right)$,求矩阵A的秩。
题目解答
答案
将矩阵 $ A $ 进行初等行变换至行阶梯形：
1. **交换行**：交换第1、4行，使首行首非零元为1。
2. **消元**：通过行变换消去首列其他元素，继续处理后续列。
3. **化简**：最终得到行阶梯形，统计非零行数。
**答案**：
矩阵 $ A $ 的秩为 $\boxed{3}$。
解析
矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，等价于矩阵的行阶梯形中非零行的数目。求解矩阵秩的核心思路是通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形，再统计非零行的数量。关键步骤包括：
- 交换行使首行首非零元为1（或简化计算）；
- 消元处理后续行，使首列下方元素为0；
- 重复上述步骤处理后续列，最终得到行阶梯形。
将矩阵 $A$ 进行初等行变换：
-
交换第1行和第4行，使首行首元素为1：
$\begin{pmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}$ -
消去第2、3、4行的首列元素：
- 第2行：$R2 - 3R1 \Rightarrow [0, -20, 15, 9, -13]$
- 第3行：$R3 - 2R1 \Rightarrow [0, -12, 9, 7, -11]$
- 第4行：$R4 - 3R1 \Rightarrow [0, -16, 12, 8, -12]$
-
处理第2列，消去第3、4行的第2列元素：
- 第3行：$R3 - \frac{3}{5}R2 \Rightarrow [0, 0, 0, 1.6, -3.2]$
- 第4行：$R4 - \frac{4}{5}R2 \Rightarrow [0, 0, 0, 0.8, -1.6]$
-
处理第4列，消去第4行的第4列元素：
- 第4行：$R4 - 0.5R3 \Rightarrow [0, 0, 0, 0, 0]$
最终行阶梯形矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\0 & -20 & 15 & 9 & -13 \\0 & 0 & 0 & 1.6 & -3.2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
非零行数为3，故矩阵的秩为3。