11.设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为

考查要点：本题主要考查条件概率和排列组合的应用，需要理解“恰好在第四次停止”的条件，即前三次取球恰好有两种颜色，第四次取到第三种颜色。

解题核心思路：

1. 明确停止条件：当三种颜色都取到时停止。
2. 分解问题：前三次必须恰好有两种颜色，第四次取到第三种颜色。
3. 分步计算概率：先计算前三次恰好有两种颜色的概率，再乘以第四次取到第三种颜色的概率。

破题关键点：

• 排除法：前三次不能全是同一种颜色，也不能包含第三种颜色。
• 组合计算：前三次取球的组合需满足两种颜色各至少出现一次。

步骤1：计算前三次恰好有两种颜色的概率

1. 选择两种颜色：共有$\binom{3}{2}=3$种选择方式（如红白、红黑、白黑）。
2. 每种颜色组合的取法：前三次只能在这两种颜色中取，且每种颜色至少出现一次。
   • 总共有$2^3=8$种可能的取法。
   • 减去全为第一种颜色和全为第二种颜色的$2$种情况，剩余$8-2=6$种有效取法。
3. 总有效取法数：$3 \times 6 = 18$种。
4. 概率计算：前三次恰好有两种颜色的概率为$\frac{18}{3^3} = \frac{2}{3}$。

步骤2：计算第四次取到第三种颜色的概率

• 第四种颜色的概率为$\frac{1}{3}$。

步骤3：综合概率

• 总概率为$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。