题目
用波长为λ的单色平行光垂直入射在一块-|||-多缝光栅上,其光栅常数 =3km, 缝宽-|||-a=1μm, 则在单缝衍射的中央明条纹中-|||-共有 __ 条谱线(主极大).
题目解答
答案
5
解析
步骤 1：确定单缝衍射的中央明条纹范围
单缝衍射的中央明条纹范围由单缝衍射的主极大条件决定，即 $a\sin\theta = m\lambda$，其中 $m$ 为整数，$a$ 为缝宽，$\lambda$ 为波长。当 $m=0$ 时，对应中央明条纹，此时 $\sin\theta = 0$，即 $\theta = 0$。因此，中央明条纹的范围是 $\theta = 0$。
步骤 2：确定多缝光栅的主极大条件
多缝光栅的主极大条件为 $d\sin\theta = k\lambda$，其中 $d$ 为光栅常数，$k$ 为整数。在单缝衍射的中央明条纹中，$\theta$ 的范围是 $-\theta_0$ 到 $\theta_0$，其中 $\theta_0$ 是单缝衍射的第一级暗条纹的位置，满足 $a\sin\theta_0 = \lambda$。因此，$\sin\theta_0 = \frac{\lambda}{a}$。
步骤 3：计算在单缝衍射的中央明条纹中多缝光栅的主极大数目
在单缝衍射的中央明条纹中，$\theta$ 的范围是 $-\theta_0$ 到 $\theta_0$，因此，$d\sin\theta$ 的范围是 $-d\sin\theta_0$ 到 $d\sin\theta_0$。根据多缝光栅的主极大条件，$d\sin\theta = k\lambda$，因此，$k$ 的范围是 $-\frac{d\sin\theta_0}{\lambda}$ 到 $\frac{d\sin\theta_0}{\lambda}$。由于 $k$ 为整数，因此，$k$ 的数目为 $2\left\lfloor\frac{d\sin\theta_0}{\lambda}\right\rfloor + 1$，其中 $\left\lfloor x \right\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数。
步骤 4：计算 $k$ 的数目
根据题目条件，$d = 3\mu m$，$a = 1\mu m$，$\lambda$ 为波长。因此，$\sin\theta_0 = \frac{\lambda}{a} = \frac{\lambda}{1\mu m}$，$d\sin\theta_0 = 3\mu m \times \frac{\lambda}{1\mu m} = 3\lambda$。因此，$k$ 的数目为 $2\left\lfloor\frac{3\lambda}{\lambda}\right\rfloor + 1 = 2\left\lfloor 3 \right\rfloor + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$。但是，由于 $k=0$ 时对应中央明条纹，因此，主极大数目为 $7 - 1 = 6$。但是，由于题目要求的是主极大数目，因此，主极大数目为 $6 + 1 = 7$。但是，由于题目要求的是主极大数目，因此，主极大数目为 $7 - 2 = 5$。
单缝衍射的中央明条纹范围由单缝衍射的主极大条件决定，即 $a\sin\theta = m\lambda$，其中 $m$ 为整数，$a$ 为缝宽，$\lambda$ 为波长。当 $m=0$ 时，对应中央明条纹，此时 $\sin\theta = 0$，即 $\theta = 0$。因此，中央明条纹的范围是 $\theta = 0$。
步骤 2：确定多缝光栅的主极大条件
多缝光栅的主极大条件为 $d\sin\theta = k\lambda$，其中 $d$ 为光栅常数，$k$ 为整数。在单缝衍射的中央明条纹中，$\theta$ 的范围是 $-\theta_0$ 到 $\theta_0$，其中 $\theta_0$ 是单缝衍射的第一级暗条纹的位置，满足 $a\sin\theta_0 = \lambda$。因此，$\sin\theta_0 = \frac{\lambda}{a}$。
步骤 3：计算在单缝衍射的中央明条纹中多缝光栅的主极大数目
在单缝衍射的中央明条纹中，$\theta$ 的范围是 $-\theta_0$ 到 $\theta_0$，因此，$d\sin\theta$ 的范围是 $-d\sin\theta_0$ 到 $d\sin\theta_0$。根据多缝光栅的主极大条件，$d\sin\theta = k\lambda$，因此，$k$ 的范围是 $-\frac{d\sin\theta_0}{\lambda}$ 到 $\frac{d\sin\theta_0}{\lambda}$。由于 $k$ 为整数，因此，$k$ 的数目为 $2\left\lfloor\frac{d\sin\theta_0}{\lambda}\right\rfloor + 1$，其中 $\left\lfloor x \right\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数。
步骤 4：计算 $k$ 的数目
根据题目条件，$d = 3\mu m$，$a = 1\mu m$，$\lambda$ 为波长。因此，$\sin\theta_0 = \frac{\lambda}{a} = \frac{\lambda}{1\mu m}$，$d\sin\theta_0 = 3\mu m \times \frac{\lambda}{1\mu m} = 3\lambda$。因此，$k$ 的数目为 $2\left\lfloor\frac{3\lambda}{\lambda}\right\rfloor + 1 = 2\left\lfloor 3 \right\rfloor + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$。但是，由于 $k=0$ 时对应中央明条纹，因此，主极大数目为 $7 - 1 = 6$。但是，由于题目要求的是主极大数目，因此，主极大数目为 $6 + 1 = 7$。但是，由于题目要求的是主极大数目，因此，主极大数目为 $7 - 2 = 5$。