-a-|||-1 2 3 n-|||-1 1+2 3 n-|||-1 2 2+3 n =(n-1)!;-|||-1 2 3 (n-1)+n-|||-o

步骤 1：理解问题
题目要求证明一个矩阵的行列式等于 (n-1)!。矩阵的结构如下：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 1+2 & 1+2+3 & \cdots & 1+2+3+\cdots+n \\
1 & 1+2 & 1+2+3 & \cdots & 1+2+3+\cdots+(n-1) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1+2 & 1+2+3 & \cdots & 1+2+3+\cdots+(n-1)
\end{vmatrix}
$$
步骤 2：简化矩阵
将第二行减去第一行，第三行减去第一行，以此类推，直到第n行减去第一行。这样可以得到一个上三角矩阵，其对角线元素为1, 1, 2, 3, ..., (n-1)。
步骤 3：计算行列式
上三角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积。因此，行列式等于 1 * 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) = (n-1)!。