设 lambda gt 0, 且 sum _(n=1)^infty ({a)_(n)}^2 收敛,则 sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (|{a)_(n)|}(sqrt {{n)^alpha +lambda }} 当 alpha gt 1 时绝对收敛.

考查要点：本题主要考查级数的绝对收敛性判断，涉及比较判别法和算术-几何均值不等式的应用，同时需要结合已知条件中的级数收敛性进行推导。

解题核心思路：

1. 拆分通项：利用算术-几何均值不等式，将原级数的通项拆分为两个非负项的和，从而将原级数与两个已知收敛的级数进行比较。
2. 分项判断收敛性：分别验证拆分后的两个级数的收敛性，结合已知条件和p级数的收敛性得出结论。

破题关键点：

• 正确应用不等式：通过均值不等式将通项转化为可比较的形式。
• 灵活处理分母：当$\alpha > 1$时，分母$n^\alpha + \lambda$的主导项为$n^\alpha$，从而简化收敛性判断。

步骤1：应用算术-几何均值不等式
对任意正数$a$和$b$，有$ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$。令$a = |a_n|$，$b = \frac{1}{\sqrt{n^\alpha + \lambda}}$，则：
$\frac{|a_n|}{\sqrt{n^\alpha + \lambda}} \leq \frac{1}{2} \left( a_n^2 + \frac{1}{n^\alpha + \lambda} \right)$

步骤2：分项判断收敛性

1. 第一项$\sum \frac{1}{2}a_n^2$：
   已知$\sum a_n^2$收敛，故$\sum \frac{1}{2}a_n^2$也收敛。
2. 第二项$\sum \frac{1}{2(n^\alpha + \lambda)}$：
   当$\alpha > 1$时，$n^\alpha + \lambda \geq n^\alpha$，故$\frac{1}{n^\alpha + \lambda} \leq \frac{1}{n^\alpha}$。
   由于$\sum \frac{1}{n^\alpha}$为收敛的p级数，因此$\sum \frac{1}{2(n^\alpha + \lambda)}$也收敛。

步骤3：综合结论
原级数的通项绝对值被两个收敛级数的和控制，故原级数$\sum (-1)^n \frac{|a_n|}{\sqrt{n^\alpha + \lambda}}$绝对收敛。