【题目】设向量组 α_1=(1,0,1)^T , α_2=(0,1,1)^Tα_3=(1,3,5)^T 不能由向量组 β_1=(1,1,1)^T ， β_2=(1,2,3)^Tβ_3=(3,4,a)^T 线性表示.（1）求a的值2）将β1,β2,β3用α1,α2,a3线性表示.

【解析】（1）由于 α_1=(1,0,1)^T , α_2=(0,1,1)^Tα_3=(1,3,5)^T 不能由 β_1=(1,1,1)^T , β_2=(1,2,3)^Tβ_3=(3,4,a)^T 线性表出，所以β1,β2, β_3 线性相关（因为任意n+1个n维向量线性相关,从而B1,B2,B3,α_i(i=1,2,3) 线性相关，若β1,β2, β_3 线性无关，则a可由β1，β2，β3线性表示，从而|B1,β2， β_3|=0 ，而|β1B2, β_3|=.11312413a.=.11301102a-3.= a,故可解得a=552）设 (β_1,β_2,β_3)=(α_1,α_2,α_3)A ，由于|a1，α2α_3|=.101013115.=1≠q0 ,所以α1，α2，α3线性无关.则A=(α_1,α_2,α_3)^(-1)(β_1,β_2,β_3)(a_1,a_2,a_3)^(-1)=21-134-3-1-11 ,从而A=21-134-3-1-111131241352154210-10-2因此 β_1=2α_1+4α_2-α_3 ， β_2=α_1+2α_2 ， β_3=5α_1+10α_2-2α_3