【例6.15】求函数f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3)的极值.
题目解答
答案
求函数 $ f(x, y) = (y - x^2)(y - x^3) $ 的极值。
-
求偏导数：
$ f_x = -3yx^2 - 2yx + 5x^4 $，
$ f_y = 2y - x^3 - x^2 $。 -
找驻点：
解方程组 $ f_x = 0 $，$ f_y = 0 $，得驻点 $ (0,0) $，$ (1,1) $，$ \left(\frac{2}{3}, \frac{10}{27}\right) $。 -
二阶导数测试：
$ f_{xx} = -6yx - 2y + 20x^3 $，
$ f_{xy} = -3x^2 - 2x $，
$ f_{yy} = 2 $。- 在 $ (0,0) $ 处，$ D = 0 $，无法确定；
- 在 $ (1,1) $ 处，$ D = -1 < 0 $，为鞍点；
- 在 $ \left(\frac{2}{3}, \frac{10}{27}\right) $ 处，$ D = \frac{8}{27} > 0 $，且 $ f_{xx} > 0 $，为极小值。
-
计算极值：
$ f\left(\frac{2}{3}, \frac{10}{27}\right) = -\frac{4}{729} $。
答案：$\boxed{-\frac{4}{729}}$（在点 $\left(\frac{2}{3}, \frac{10}{27}\right)$ 处）。
解析
考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解、二阶导数测试法的应用，以及极值的判断。
解题核心思路：
- 求偏导数：计算一阶偏导数$f_x$和$f_y$，联立方程求驻点。
- 二阶导数测试：计算二阶偏导数$f_{xx}$、$f_{xy}$、$f_{yy}$，利用判别式$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$判断驻点的性质。
- 极值计算：确定极小值点后，代入原函数计算极值。
破题关键点：
- 驻点求解：通过解方程组$f_x=0$和$f_y=0$，需注意代数运算的准确性。
- 判别式应用：特别注意当$D=0$时无法确定极值，需进一步分析。
求偏导数
- 对$x$求偏导：
$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left[(y - x^2)(y - x^3)\right] = -2x(y - x^3) - 3x^2(y - x^2) = -3yx^2 - 2yx + 5x^4$ - 对$y$求偏导：
$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left[(y - x^2)(y - x^3)\right] = (y - x^3) + (y - x^2) = 2y - x^3 - x^2$
找驻点
联立方程组：
$\begin{cases}-3yx^2 - 2yx + 5x^4 = 0 \\2y - x^3 - x^2 = 0\end{cases}$
解得驻点为$(0,0)$、$(1,1)$、$\left(\frac{2}{3}, \frac{10}{27}\right)$。
二阶导数测试
- 二阶偏导数：
$f_{xx} = 20x^3 - 6xy - 2y, \quad f_{xy} = -3x^2 - 2x, \quad f_{yy} = 2$ - 判别式$D$：
- 在$(0,0)$处：$D = 0 \cdot 2 - 0^2 = 0$，无法确定。
- 在$(1,1)$处：$D = 12 \cdot 2 - (-5)^2 = -1 < 0$，为鞍点。
- 在$\left(\frac{2}{3}, \frac{10}{27}\right)$处：$D = \frac{100}{27} \cdot 2 - \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{8}{27} > 0$，且$f_{xx} > 0$，为极小值点。
计算极值
极小值为：
$f\left(\frac{2}{3}, \frac{10}{27}\right) = \left(\frac{10}{27} - \left(\frac{2}{3}\right)^2\right)\left(\frac{10}{27} - \left(\frac{2}{3}\right)^3\right) = -\frac{4}{729}$