题目
1.5 若 =digg((a)_(11),(a)_(22),... ,(a)_(mi)), =digg((b)_(11),(b)_(22),... ,(b)_(mi)), 求-|||-(1)A^2;-|||-(2)AB;-|||-(3)当 _(n)neq 0(i=1,2,... ,n) 时,验证-|||-^-1=dig(1)(a)_(11)... ,(|{a)_(min)} );-|||-(4)若 =(({c)_(n))}_(n)times n, 求AC与CA.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $A^2$
$A$ 是一个对角矩阵，其对角线上的元素为 ${a}_{11},{a}_{22},\cdots ,{a}_{100}$。对角矩阵的平方等于对角线元素的平方，因此 $A^2$ 的对角线元素为 ${a}_{11}^2,{a}_{22}^2,\cdots ,{a}_{100}^2$。
步骤 2：计算 $AB$
$A$ 和 $B$ 都是对角矩阵，$A$ 的对角线元素为 ${a}_{11},{a}_{22},\cdots ,{a}_{100}$，$B$ 的对角线元素为 ${b}_{11},{b}_{22},\cdots ,{b}_{101}$。对角矩阵的乘积等于对角线元素的乘积，因此 $AB$ 的对角线元素为 ${a}_{11}{b}_{11},{a}_{22}{b}_{22},\cdots ,{a}_{100}{b}_{100}$。注意，$B$ 的对角线元素比 $A$ 多一个，因此 $AB$ 的对角线元素只有前100个。
步骤 3：验证 ${A}^{-1}$
当 ${a}_{ii}\neq 0$ 时，对角矩阵 $A$ 的逆矩阵 ${A}^{-1}$ 的对角线元素为 $1/{a}_{ii}$。因此，${A}^{-1}=diag(1/{a}_{11},1/{a}_{22},\cdots ,1/{a}_{100})$。
步骤 4：计算 $AC$ 和 $CA$
$A$ 是一个对角矩阵，$C$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。对角矩阵与任意矩阵的乘积等于对角线元素与矩阵的对应行或列的乘积。因此，$AC$ 的第 $i$ 行等于 $A$ 的第 $i$ 个对角线元素与 $C$ 的第 $i$ 行的乘积，$CA$ 的第 $i$ 列等于 $A$ 的第 $i$ 个对角线元素与 $C$ 的第 $i$ 列的乘积。
$A$ 是一个对角矩阵，其对角线上的元素为 ${a}_{11},{a}_{22},\cdots ,{a}_{100}$。对角矩阵的平方等于对角线元素的平方，因此 $A^2$ 的对角线元素为 ${a}_{11}^2,{a}_{22}^2,\cdots ,{a}_{100}^2$。
步骤 2：计算 $AB$
$A$ 和 $B$ 都是对角矩阵，$A$ 的对角线元素为 ${a}_{11},{a}_{22},\cdots ,{a}_{100}$，$B$ 的对角线元素为 ${b}_{11},{b}_{22},\cdots ,{b}_{101}$。对角矩阵的乘积等于对角线元素的乘积，因此 $AB$ 的对角线元素为 ${a}_{11}{b}_{11},{a}_{22}{b}_{22},\cdots ,{a}_{100}{b}_{100}$。注意，$B$ 的对角线元素比 $A$ 多一个，因此 $AB$ 的对角线元素只有前100个。
步骤 3：验证 ${A}^{-1}$
当 ${a}_{ii}\neq 0$ 时，对角矩阵 $A$ 的逆矩阵 ${A}^{-1}$ 的对角线元素为 $1/{a}_{ii}$。因此，${A}^{-1}=diag(1/{a}_{11},1/{a}_{22},\cdots ,1/{a}_{100})$。
步骤 4：计算 $AC$ 和 $CA$
$A$ 是一个对角矩阵，$C$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。对角矩阵与任意矩阵的乘积等于对角线元素与矩阵的对应行或列的乘积。因此，$AC$ 的第 $i$ 行等于 $A$ 的第 $i$ 个对角线元素与 $C$ 的第 $i$ 行的乘积，$CA$ 的第 $i$ 列等于 $A$ 的第 $i$ 个对角线元素与 $C$ 的第 $i$ 列的乘积。