题目
例11 求曲线y=(1+int_(0)^frac(1)/(x)e^t^{2)dt}(1-e^(1)/(x))(x>0)的斜渐近线.
例11 求曲线$y=\frac{1+\int_{0}^{\frac{1}{x}}e^{t^{2}}dt}{1-e^{\frac{1}{x}}}(x>0)$的斜渐近线.
题目解答
答案
将曲线方程 $ y = \frac{1 + \int_{0}^{\frac{1}{x}} e^{t^2} \, dt}{1 - e^{\frac{1}{x}}} $ 转换为斜渐近线形式 $ y = ax + b $。
1. **计算斜率 $ a $**：
\[
a = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \int_{0}^{\frac{1}{x}} e^{t^2} \, dt}{x(1 - e^{\frac{1}{x}})} \approx \frac{1}{-1} = -1
\]
（利用 $ e^{\frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{1}{x} $，得 $ x(1 - e^{\frac{1}{x}}) \approx -1 $）
2. **计算截距 $ b $**：
\[
b = \lim_{x \to +\infty} [y + x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{-e^{\frac{1}{x^2}} + x^2(1 - e^{\frac{1}{x}}) + x e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}}} = -\frac{1}{2}
\]
（泰勒展开近似：$ e^{\frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} $）
**答案**：
斜渐近线为 $ y = -x - \frac{1}{2} $，即 $\boxed{x + y + \frac{1}{2} = 0}$。
解析
考查要点：本题主要考查斜渐近线的求法，涉及极限的计算、泰勒展开的应用以及积分近似展开。
解题核心思路：
- 斜渐近线方程为$y = ax + b$，其中$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x}$，$b = \lim_{x \to +\infty} (y - a x)$。
- 关键点在于处理积分$\int_{0}^{\frac{1}{x}} e^{t^2} \, dt$和分母$1 - e^{\frac{1}{x}}$的极限形式。通过变量代换$h = \frac{1}{x}$，将问题转化为$h \to 0^+$时的泰勒展开，从而简化计算。
破题关键：
- 泰勒展开：对$e^{t^2}$和$e^{\frac{1}{x}}$展开到足够高的阶数，确保截距$b$的准确性。
- 近似替换：利用等价无穷小替换简化极限计算，但需注意展开阶数对结果的影响。
计算斜率$a$
当$x \to +\infty$时，令$h = \frac{1}{x}$，则$h \to 0^+$。原式变为：
$y = \frac{1 + \int_{0}^{h} e^{t^2} \, dt}{1 - e^{h}}.$
泰勒展开：
- 分子中的积分：$\int_{0}^{h} e^{t^2} \, dt \approx \int_{0}^{h} \left(1 + t^2 + \frac{t^4}{2}\right) dt = h + \frac{h^3}{3} + \frac{h^5}{10}$。
- 分母：$1 - e^{h} \approx -h - \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{6}$。
代入后分子为$1 + h + \frac{h^3}{3}$，分母为$-h - \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{6}$。化简得：
$y \approx \frac{1 + h}{-h} \cdot \frac{1 + \frac{h^2}{3}}{1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{6}} \approx -\frac{1}{h} - \frac{1}{2} + \cdots.$
因此，$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = -1$。
计算截距$b$
将$y \approx -x - \frac{1}{2}$代入$b = \lim_{x \to +\infty} (y + x)$，得：
$b = \lim_{x \to +\infty} \left(-x - \frac{1}{2} + x\right) = -\frac{1}{2}.$