题目
5.已知椭圆C: (x^2)/(a^2) +(y^2)/(b^2) =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F_(1)(-c,0)，F_(2)(c,0)，离心率e为(sqrt(2))/(2)，直线l:y=k(x+c)(k≠0)和椭圆交于A，B两点，且△ABF₂的周长为8sqrt(2).(1)求C的方程；(2)设点T为线段AB的中点，O为坐标原点，求线段OT长度的取值范围.
5.已知椭圆$C: \frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，离心率e为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线
l:y=k(x+c)(k≠0)和椭圆交于A，B两点，且△ABF₂的周长为$8\sqrt{2}$.
(1)求C的方程；
(2)设点T为线段AB的中点，O为坐标原点，求线段OT长度的取值范围.
题目解答
答案
(1) 由题意，$a = 2\sqrt{2}$，$c = 2$，$b = 2$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$。
(2) 设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，中点 $T(x, y)$，其中 $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$，$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$。
直线 $l: y = k(x + 2)$ 与椭圆联立得 $(1 + 2k^2)x^2 + 8k^2x + 8k^2 - 8 = 0$，
由韦达定理，$x_1 + x_2 = -\frac{8k^2}{1 + 2k^2}$，$y_1 + y_2 = \frac{4k}{1 + 2k^2}$，
故 $T\left(-\frac{4k^2}{1 + 2k^2}, \frac{2k}{1 + 2k^2}\right)$，
$|OT| = \frac{2\sqrt{4k^4 + k^2}}{1 + 2k^2}$，
令 $m = k^2 > 0$，则 $|OT| = 2\sqrt{\frac{4m^2 + m}{(1 + 2m)^2}}$，
该表达式值域为 $(0, 2)$。
答案：
(1) $\boxed{\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1}$
(2) $\boxed{(0, 2)}$