直线(x-2)/(2) = (y+2)/(1) = (z-4)/(3)与平面x + y + z = 4的关系是垂直()。A. 正确B. 错误

本题考查直线与平面的位置关系，解题思路是通过直线的方向向量和平面的法向量来判断直线与平面的关系。若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直；若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行或直线在平面内；若直线的方向向量与平面的法向量既不平行也不垂直，则直线与平面相交。

步骤一：确定直线的方向向量和平面的法向量

对于直线$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$，其方向向量$\vec{s}=(m,n,p)$。
已知直线$\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 4}{3}$，所以直线的方向向量$\vec{s}=(2,1,3)$。
对于平面$Ax + By + Cz + D = 0$，其法向量$\vec{n}=(A,B,C)$。
已知平面$x + y + z = 4$，即$x + y + z - 4 = 0$，所以平面的法向量$\vec{n}=(1,1,1)$。

步骤二：判断直线的方向向量与平面的法向量的关系

若两个向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$平行，则存在实数$\lambda$，使得$\vec{a}=\lambda\vec{b}$，即$x_1 = \lambda x_2$，$y_1 = \lambda y_2$，$z_1 = \lambda z_2$。
假设$\vec{s}$与$\vec{n}$平行，则存在实数$\lambda$，使得$(2,1,3)=\lambda(1,1,1)$，即$\begin{cases}2 = \lambda\\1 = \lambda\\3 = \lambda\end{cases}$，此方程组无解，所以$\vec{s}$与$\vec{n}$不平行，那么直线与平面不垂直。

步骤三：判断直线与平面是否相交

若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则$\vec{s}\cdot\vec{n}=0$。
根据向量点积的坐标运算公式，若$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。
所以$\vec{s}\cdot\vec{n}=2\times1 + 1\times1 + 3\times1$
$=2 + 1 + 3$
$= 6\neq 0$
即直线的方向向量与平面的法向量不垂直，所以直线与平面相交。