[例6] 证明级数 sum _(n=1)^infty dfrac (n)({3)^n} 收敛.

步骤 1：比较判别法
由于 $n < 2^n$，我们有 $\dfrac{n}{3^n} < \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$。而几何级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ 收敛，由比较判别法知原级数收敛。
步骤 2：比较判别法的极限形式
由于 $\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{n}{3^n}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n} = \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{n}{2^n} = 0$，而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ 收敛，由比较判别法的极限形式知原级数收敛。
步骤 3：比值判别法
设 $u_n = \dfrac{n}{3^n}$，由于 $\rho = \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{n+1}{3^{n+1}} / \dfrac{n}{3^n} = \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{1}{3} \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{1}{3} < 1$，由比值判别法知原级数收敛。
步骤 4：根值判别法
由于 $\rho = \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{\dfrac{n}{3^n}} = \dfrac{1}{3} \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = \dfrac{1}{3} < 1$，由根值判别法知原级数收敛。