311.设D是由曲线 =(e)^x, =(e)^-x 和 x=1 所围成的平面区域,求-|||-(1)区域D的面积A;(2)D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积Vx.

考查要点：本题主要考查平面区域的面积计算和旋转体体积的积分方法。
解题思路：

1. 确定区域D的边界：通过分析曲线$y=e^x$、$y=e^{-x}$和$x=1$的交点，明确积分上下限。
2. 面积计算：利用积分法，计算两曲线在$x=0$到$x=1$之间的面积差。
3. 体积计算：使用圆盘法，将旋转体的体积转化为积分问题，积分表达式为$\pi \int (外半径^2 - 内半径^2)dx$。

关键点：

• 积分区间：由$x=0$到$x=1$（两曲线交点$x=0$，右侧边界$x=1$）。
• 被积函数：面积为$e^x - e^{-x}$，体积为$e^{2x} - e^{-2x}$。

(1) 区域D的面积A

确定积分区间与被积函数

曲线$y=e^x$和$y=e^{-x}$在$x=0$处相交（$e^0 = e^{-0} = 1$），右侧边界为$x=1$。因此，积分区间为$[0,1]$，被积函数为上方曲线减下方曲线：
$A = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx$

计算积分

积分结果为：
$\int (e^x - e^{-x}) dx = e^x + e^{-x} + C$

代入上下限

$A = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{0}^{1} = (e + e^{-1}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2$

(2) 旋转体的体积V

确定截面积表达式

绕x轴旋转时，外半径为$e^x$，内半径为$e^{-x}$，截面积为：
$\pi \left( (e^x)^2 - (e^{-x})^2 \right) = \pi (e^{2x} - e^{-2x})$

积分表达式

$V = \pi \int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-2x}) dx$

计算积分

积分结果为：
$\int (e^{2x} - e^{-2x}) dx = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} + C$

代入上下限

$V = \frac{\pi}{2} \left[ (e^{2} + e^{-2}) - (1 + 1) \right] = \frac{\pi}{2} (e^{2} + \frac{1}{e^{2}} - 2)$