题目
与函数 f(x)= x 是同一函数的为 A. g(x)= ln e^xB. g(x)= |x|C. g(x)= e^ln xD. g(x)= (sqrt(x))^2
与函数 $f(x)= x$ 是同一函数的为
- A. $g(x)= \ln e^x$
- B. $g(x)= |x|$
- C. $g(x)= e^{\ln x}$
- D. $g(x)= (\sqrt{x})^2$
题目解答
答案
与函数 $ f(x) = x $ 是同一函数，需满足定义域和对应法则相同。分析各选项：
- **选项A：** $ g(x) = \ln e^x = x $，定义域为 $\mathbb{R}$，与 $ f(x) $ 相同。
- **选项B：** $ g(x) = |x| $，对应法则不同（如 $ x < 0 $ 时 $ g(x) = -x $）。
- **选项C：** $ g(x) = e^{\ln x} = x $，定义域为 $ x > 0 $，不同。
- **选项D：** $ g(x) = (\sqrt{x})^2 = x $，定义域为 $ x \geq 0 $，不同。
**答案：** $\boxed{A}$
解析
同一函数的判断标准：两个函数要成为同一函数，必须同时满足定义域相同和对应法则（解析式化简后）相同。即使解析式化简后相同，若定义域不同，也不能算同一函数。
关键思路：
- 化简各选项的解析式，判断是否与$f(x)=x$等价；
- 分析各选项的定义域，与$f(x)=x$的定义域$\mathbb{R}$对比。
选项A：$g(x)=\ln e^x$
- 化简解析式：$\ln e^x = x$（因为$\ln$和$e^x$互为反函数）。
- 定义域：$e^x$对所有实数$x$有意义，$\ln e^x$的定义域为$\mathbb{R}$，与$f(x)=x$一致。
结论：与$f(x)$是同一函数。
选项B：$g(x)=|x|$
- 解析式差异：当$x<0$时，$|x|=-x \neq x$，对应法则不同。
- 定义域：均为$\mathbb{R}$，但解析式不同。
结论：不是同一函数。
选项C：$g(x)=e^{\ln x}$
- 化简解析式：$e^{\ln x}=x$（$\ln x$和$e^x$互为反函数）。
- 定义域：$\ln x$要求$x>0$，而$f(x)=x$的定义域为$\mathbb{R}$，定义域不同。
结论：不是同一函数。
选项D：$g(x)=(\sqrt{x})^2$
- 化简解析式：$(\sqrt{x})^2=x$（平方与平方根抵消）。
- 定义域：$\sqrt{x}$要求$x \geq 0$，而$f(x)=x$的定义域为$\mathbb{R}$，定义域不同。
结论：不是同一函数。