设矩阵 A=} 1 & 2 & a 1 & a+1 & 1 a & 2 & 1 ，矩阵 B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则(）。A. 当 a=1 时，B 的秩必为 1B. 当 a=-3 时，B 的秩必为 1C. 当 a=1 时，B 的秩必为 2D. 当 a=-3 时，B 的秩必为 2

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、行列式、零空间的性质，以及矩阵乘法的性质。
解题思路：

1. 行列式判断矩阵可逆性：当矩阵$A$不可逆（行列式为0）时，存在非零矩阵$B$使得$AB=0$。
2. 秩与零空间维数关系：根据秩-零化度定理，零空间的维数为$n - r(A)$（$n$为矩阵列数）。
3. B的秩的限制：$B$的列向量必须属于$A$的零空间，因此其秩不超过零空间的维数，且$B$非零时秩至少为1。

破题关键：

• 计算行列式：确定$a$的取值使$A$不可逆。
• 分析不同$a$值下$A$的秩，进而确定零空间维数，最终限制$B$的秩。

计算行列式

矩阵$A$的行列式为：
$\det(A) = -(a-1)^2(a+3)$
当$\det(A)=0$时，$a=1$或$a=-3$。

情况1：$a=1$

此时：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad r(A)=1$
零空间维数为$3 - 1 = 2$，因此$B$的秩最多为2。但$B$非零，故秩可能为1或2，选项A、C均不成立。

情况2：$a=-3$

此时：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad r(A)=2$
零空间维数为$3 - 2 = 1$，因此$B$的秩只能为1（非零矩阵），选项B正确，D错误。