微分方程 '+2y'+5y=(e)^-xsin 2x 具有形如 ^-x(Asin 2x+Bcos 2x) 的特解。 ()A.对B.错

考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程特解形式的判断，需要结合待定系数法的应用条件进行分析。

解题核心思路：

1. 确定齐次方程的特征根，判断非齐次项的形式是否与齐次解重复。
2. 若非齐次项中的指数因子和三角函数的组合不与特征根匹配，则特解形式可直接采用与非齐次项相同的形式；若匹配，则需乘以$x$的幂次。

破题关键点：

• 齐次方程的特征根为$-1 \pm 4i$，对应齐次解为$e^{-x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$。
• 非齐次项$e^{-x} \sin 2x$中的指数因子$e^{-x}$和三角函数$\sin 2x$的组合对应的“特征根”为$-1 + 2i$，与齐次方程的特征根$-1 \pm 4i$不重复，因此特解形式无需调整。

1. 求齐次方程的特征根
   对应齐次方程为$y'' + 2y' + 5y = 0$，特征方程为：
   $r^2 + 2r + 5 = 0$
   解得根为：
   $r = \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = -1 \pm 4i$
   因此，齐次解为：
   $y_h = e^{-x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$

2. 分析非齐次项形式
   非齐次项为$e^{-x} \sin 2x$，可视为$e^{\alpha x} \sin \beta x$的形式，其中$\alpha = -1$，$\beta = 2$。
   根据待定系数法，若$\alpha + i\beta$（即$-1 + 2i$）不是齐次方程的特征根，则特解形式可直接设为：
   $y_p = e^{-x}(A \sin 2x + B \cos 2x)$

3. 验证匹配性
   齐次方程的特征根为$-1 \pm 4i$，与非齐次项对应的$-1 \pm 2i$不重复，因此无需调整特解形式。

结论：题目中给出的特解形式正确，答案为A. 对。