21.行列式D非零的充分必要条件为( )A. D的所有元素非零B. D的任意两行元素之间不成比例C. 至少有n个元素非零D. 以D为系数行列式的线性方程组有唯一解

行列式非零的充要条件是判断矩阵是否可逆的核心依据。本题需明确各选项与行列式非零的关系：

• 选项A仅要求元素非零，但元素全非零无法保证行列式非零（如行成比例时行列式为零）。
• 选项B排除两两行成比例，但未考虑更高阶的线性相关性（如三行线性组合为零）。
• 选项C的“至少n个元素非零”范围过宽，无法保证非零元素分布合理。
• 选项D直接关联线性方程组解的唯一性，根据克拉默法则，行列式非零当且仅当方程组有唯一解，故为充要条件。

选项分析

选项A：D的所有元素非零

• 反例：构造一个2×2行列式：
  $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$
  虽然所有元素非零，但行列式为零。因此选项A不是充分条件。

选项B：D的任意两行元素之间不成比例

• 反例：构造一个3×3行列式，其中第三行是前两行之和：
  $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = 0$
  虽然任意两行不成比例，但三行线性相关导致行列式为零。因此选项B不是充分条件。

选项C：至少有n个元素非零

• 反例：构造一个3×3行列式，仅第一行非零：
  $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = 0$
  满足“至少3个元素非零”，但行列式仍为零。因此选项C不是充分条件。

选项D：以D为系数行列式的线性方程组有唯一解

• 充要性证明：
  • 必要性：若行列式D非零，则根据克拉默法则，方程组必有唯一解。
  • 充分性：若方程组有唯一解，则系数矩阵行列式必非零。
    因此选项D是行列式非零的充要条件。