[题目]求不定积分∫(arcsinx)^2dx·

考查要点：本题主要考查分部积分法在不定积分中的应用，特别是处理含有反三角函数的积分。

解题核心思路：

1. 分部积分法的选择：将$(\arcsin x)^2$设为$u$，剩余部分$dx$设为$dv$，简化积分形式。
2. 二次分部积分：对剩余的积分再次应用分部积分，结合变量替换，将复杂积分转化为基本积分形式。
3. 符号与运算细节：注意积分过程中符号的变化，尤其是分部积分公式中的负号处理。

破题关键点：

• 第一次分部积分：通过分部积分将原积分转化为更简单的形式。
• 第二次分部积分：对剩余积分再次分部积分，利用$\sqrt{1-x^2}$的导数简化运算。

第一次分部积分

设$u = (\arcsin x)^2$，则$du = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$；
设$dv = dx$，则$v = x$。
根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int (\arcsin x)^2 dx &= x(\arcsin x)^2 - \int x \cdot \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx \\&= x(\arcsin x)^2 + 2\int \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx.\end{aligned}$

第二次分部积分

对剩余积分$\int \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx$，令$t = \arcsin x$，则$x = \sin t$，$dx = \cos t dt$，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。代入得：
$\int \frac{\sin t \cdot t}{\cos t} \cdot \cos t dt = \int t \sin t dt.$
再次应用分部积分，设$u = t$，$dv = \sin t dt$，则$du = dt$，$v = -\cos t$：
$\begin{aligned}\int t \sin t dt &= -t\cos t + \int \cos t dt \\&= -t\cos t + \sin t + C \\&= -\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} + x + C.\end{aligned}$

整合结果

将两次分部积分的结果代入原式：
$\begin{aligned}\int (\arcsin x)^2 dx &= x(\arcsin x)^2 + 2\left(-\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} + x\right) + C \\&= x(\arcsin x)^2 + 2\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} - 2x + C.\end{aligned}$