(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}((cos )^2x+dfrac (xcos x)(1+{cos )^2x})dx=.

步骤 1：将积分分成两部分
根据积分的性质，可以将原积分分成两部分，即
${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}({\cos }^{2}x+\dfrac {x\cos x}{1+{\cos }^{2}x})dx$
$={\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx+{\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {x\cos x}{1+{\cos }^{2}x}dx$
步骤 2：计算第一部分积分
第一部分积分${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx$，由于${\cos }^{2}x$是偶函数，所以可以将积分区间缩小到$[0, \dfrac {\pi }{2}]$，并乘以2，即
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx$
步骤 3：计算第二部分积分
第二部分积分${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {x\cos x}{1+{\cos }^{2}x}dx$，由于$\dfrac {x\cos x}{1+{\cos }^{2}x}$是奇函数，所以其在对称区间$[-\dfrac {\pi }{2}, \dfrac {\pi }{2}]$上的积分为0，即
${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {x\cos x}{1+{\cos }^{2}x}dx=0$
步骤 4：计算第一部分积分的具体值
将${\cos }^{2}x$用二倍角公式表示，即${\cos }^{2}x=\dfrac {1+\cos 2x}{2}$，代入积分中，得
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {1+\cos 2x}{2}dx$
$={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}1+\cos 2xdx$
$=x+\dfrac {\sin 2x}{2}|$ $\dfrac {\pi }{2}$
$=\dfrac {\pi }{2}+\sin (2\times \dfrac {\pi }{2})-[ 0+\sin (2\times 0)] $
$=\dfrac {\pi }{2}$